浅谈数学教学中的数形结合思想的几点应用

【摘要】 数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的思想方法。数形结合思想是通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

【关键词】 数学教学 数形结合

【中图分类号】 G42 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）11（a）-0154-02

数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。应用数形结合思想，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。

1 以“形”助“数”

根据给出的“数”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，或根据已给图形分析数的特点，从而化抽象为直观，使解题过程变得简捷直观。教师在教学时要注意树立数形结合的思想，要按照把复杂问题化简单的原则培养学生的空间概念，提高学习兴趣。

例1、

A. B. C.2 D.无最大值

解：

答案：D

二、以“数”助“形”

以“数”助“形”即有关“形”的问题可借助数式的推演，使之量化，从而准确揭示“形”的性质。教师在具体教学中，必须有意识的去体现和解释数学知识中的抽象概念和形象事物之间的联系，提高学生的数学思维。

例2、在ABC中，AB>AC，CF、BE分别是AB、AC边上的高。试证：

证法一：（三角法）因为，

证法二：（代数法）由AB>AC>CF，AB>BE

及SABC

>

>

，=.

综上：

小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出。而求那些量的方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。

3 数形结合在函数中的应用

函数是考查数形结合思想的良好载体，对函数的图象除了要求熟练掌握常见的函数图象外，还应加强对函数与方程、函数与曲线的区别与统一，善于发现条件的几何意义，刻画出相应的图形，还要根据图形的性质分析数学式的几何意义，这样才能巧妙地利用数形结合解决问题。

例3、已知二次函数的图象经过点A和点B。

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（）与点Q均在该函数图象上（其中），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值及点Q到轴的距离。

[解析]（1）观察图象，得A（-1，-1），B（3，-9）.

得方程组解得

该二次函数的表达式为.

（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）.

（3）将（）代入表达式，解方程得.

， .点P与点Q关于对称轴对称，

点Q到轴的距离为6.

4 数形结合在不等式中的应用

有些不等式问题，当用代数方法讨论较繁时，利用图形将代数问题转换成几何问题，合几何知识探求，也是一种解决的方法。

例4、

分析：本题若用常规解法，要分两种情形：

比较麻烦，若能用数形结合解法，则比较有新意，具体解题如下：

，

小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。

5 在解析几何上的应用

例5、设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上有点使

∠且，则双曲线的离心率为（ ）

A、 B、 C、 D、

解：由已知

根据双曲线的定义：，得

在中，由勾股定理得

即双曲线的离心率

答案：B

数形结合渗透在中学数学的每个部分，在解题中数学老师要做好这种“数”与“形”关系的揭示与转化，启发学生深刻认识数学问题的实质——数学知识的精髓，才能将知识转化为能力，才能提高学生灵活运用数形结合思想转化或化归思想与函数（方程）思想解决问题的能力.