一道椭圆竞赛题的探究

重庆合川太和中学401500

摘要：对数学问题进行推广以及逆向思考是探究数学问题的两种重要手段，运用该手段可以使我们更加深入、全面地认识问题，提高探究者对数学本质的认知水平.

关键词：竞赛题；推广；逆向思考

2008年湖南省高中数学竞赛（A卷）第18题.

过直线l：5x－7y－70=0上的点P作椭圆+=1的切线PM，PN，切点分别为M，N，连接MN.

（1）当点P在直线l上运动时，证明：直线MN恒过定点.

（2）当MN∥l时，定点Q平分线段MN.

1. 赛题的推广

笔者将其拓展到到圆锥曲线中进行探究，发现仍有类似的结论成立.

命题1 过直线l：y=mx+n（mn≠0）上的点P作椭圆+=1（a>b>0）的切线PM，PN，切点分别为M，N，连接MN.

（1）当点P在直线l上且在椭圆外运动时，直线MN恒过定点Q-

（2）若直线l与椭圆不相交，则当MN∥l时，定点Q平分线段MN.

命题2 过直线l：y=mx+n（mn≠0）上的点P作双曲线－=1（x>0）的切线PM，PN，切点分别为M，N，连接MN.

（1）当点P在直线l上且在双曲线外运动时，直线MN恒过定点Q-

（2）若直线l与双曲线不相交，则当MN∥l时，定点Q平分线段MN.

命题3 过直线l：y=mx+n（mn≠0）的点P作抛物线y2=2px（p>0）的切线PM，PN，切点分别为M，N，连接MN.

（1）当点P在直线l上且在抛物线外运动时，直线MN恒过定点Q-

（2）若直线l与抛物线不相交，则当MN∥l时，定点Q平分线段MN.

下面仅以椭圆为例进行证明命题1，其余两个命题请读者完成.

引理 若x能取到至少两个不同的实数满足等式ax=b，则a=0，b=0.

命题1的证明 设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），则切线PM，PN的方程为+=1，+=1，显然切线PM，PN均过点P（x0，y0），则+=1，+=1. 因此直线MN的方程为+=1，①

（1）将y0=mx0+n代入①式并整理为

显然x0至少可以取两个不同的值满足式②，所以由引理知

（2）由MN∥l易得直线MN解析式为y=mx

=1，利用点差法即可得=－・=－，③

再将y1=mx1

++，y2=m・x2

++代入③式得=－，进而可得=，因此线段MN的中点与Q-

，

重合，所以定点Q平分线段MN.

2. 推广的逆向思考

上述三个命题描述了从定直线到定点的数学事实，那么我们是不是也可以逆向思考从定点到定直线的情形呢？

命题4 设直线l与椭圆+=1（a>b>0）交于点M，N，过点M，N作椭圆的切线交于点P，则当直线l恒过定点Q（x0，y0）时，点P必在定直线+=1上.

命题5设直线l与双曲线-=1（x>0）交于点M，N，过点M，N作双曲线的切线交于点P，则当直线l恒过定点Q（x0，y0）时，点P必在定直线-=1上.

命题6 设直线l与抛物线y2=2px（p>0）交于点M，N，过点M，N作抛物线的切线交于点P，则当直线l恒过定点Q（x0，y0）时，点P必在定直线yy0=p（x+x0）上.

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