一道空间直线方程题的新解法

摘 要：本文通过引入两点式求直线方程的思想，给出了求类似直线方程问题的一般方法，为数学专业初学者提供借鉴意义。

关键词：直线 平面 相交 方向向量 法向量

中图分类号：G644.5 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）04-0024-01

1 引言

在空间中当两直线相交时可以唯一确定一个平面，两相交平面又可以唯一确定一条直线，在教材[1]第三章的例子中就采用这种思想得出所求直线方程，但是此种方法很大的缺陷就是计算量过大，并且满足条件过多，导致解题思路不够明朗，对于刚接触这门学科的学生而言，这并不是一种最好的解题思路，基于此种原因，这篇文章给出了该题的另一种解法，相较教材上的解题方法来说，新的解题方法更简单快捷，易于理解。

2 教材[1]第三章有例题

求通过点P（1，1，1）且与两直线L1，L2都相交的直线L的方程，

新解法：分析两条直线L1，L2的方程，发现两条直线都过同一点M={1，2，3}，且1∶2∶3≠2∶1∶4即L1，L2是空间两条相交直线，而两条相交直线能唯一确定一个平面，如果P点不在这个平面上，则所求直线只能过M点才能与L1，L2同时相交，且一旦知道一条直线上的两点，根据两点式方程即可求出所求直线方程。

解：已知L1过点M1={0，0，0}，方向向量为v1={1，2，3}，L2过点M2={1，2，3}，方向向量为v2={2，1，4}，因L1与L2都过同一点M2{1，2，3}且1∶2∶3≠2∶1∶4，则L1与L2相交，由L1与L2所确定的平面方程的法向量为：

则该平面方程为：5（x-0）+2（y-0）-2（z-0）=0，整理得：

5x+2y-2z=0，将P点带入平面方程有5≠0，故P点不在平面上，因此所求直线L的方程为：

从上面解法中可得出求类似例题的一般解法：求过空间一点P且与两已知直线L1，L2都相交的直线的方程时，可以先考虑这两条已知直线是否相交，如果相交于点M，则求出所_定的平面方程，并判断P点在不在该平面上，如果不在，则所求直线必过M点，由直线上两点可得出所求直线的方程，且该直线唯一；如果P点在平面上，则所求直线有无数条，可利用点P和点M求出其中一条直线的方程。采用此种解题方法，不仅计算量小，且思路简单清晰。

参考文献：

[1] 吕林根，许子道.解析几何[M].第4版. 北京：高等教育出版社，2006.

[2] 欧宜贵，李文雅.空间解析几何：综合学习与指导[M].北京：中国科技技术大学出版社，2009.01.

[3] 吴光磊，田畴.解析几何简明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

作者简介：彭兴媛，硕士研究生，讲师，研究方向：统计分析。