课本一道例题的探究

摘 要：通过课本圆锥曲线的例题结合历年高考题谈斜率的一些性质，探求高考试题的联系，认真研究高考试题，从而强化课本的作用，发掘其真正内涵，探索出一般性的结论.

关键词：课本例题；高考；斜率性质

课本是教学之本，考题之源.近几年的高考命题坚持贯彻高考试题“源于课本”的命题原则，一直都很注重强化课本的作用.其中许多题目都能在课本上找到影子，是课本上题目的变形和转化，因此课本典型例题、习题值得师生关注与思考.

人教版教材选修2-1有这样一道例题（第41页例3）：设点A，B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程.

我们知道点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，该题可变形为：设点A，B是椭圆+=1长轴的端点，点M在椭圆上，求直线AM，BM的斜率之积.在求斜率之积的过程中发现可以将其拓展到一般的椭圆.

探究一

推广更一般的结论：

定理一：有心圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线）+=1上任一点与任一直径两端点分别连线，其斜率之积为常数-.

例.（2012年湖北高考）设A是单位圆上x2+y2=1的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足DM=mDA（m>0，且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.

解析：（Ⅰ）略

（Ⅱ）标准答案利用例一的结论可简写为：

本题第一问源于教材选修2-1第41页例2的背景，考查了轨迹的求法，又体现了圆与椭圆的联系，紧扣教材；同时又考查了分类讨论的思想，延续了2011年湖北解析几何题的风格.第二问突显几何味，利用斜率之间的关系及点差法极大的简化运算.

由此可以看到，2012年湖北理科高考解析几何题有如下特点：

（1）突出贴近教材，彰显数学文化.本题取材于数学选修2-1第41页例2和例3的背景等，同时试题的表达方式与语言叙述尽可能与教材保持统一.这种做法可以为中学数学教学实施素质教育创造宽松的环境，为高考复习提供“依纲靠本”的导向.

（2）与斜率有关的定值问题是解析几何的“几何味”体现之一，也是高考命题热点，且常考常新.

探究二

圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中，如圆的“垂径定理”的逆定理：圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦.类比推广到有心圆锥曲线.

将上述性质的条件作改变，仍然可以得到与有关的性质.

通过对一道课本例题的探究，我们深深体会到：在近几年的高考试题中，对课本例题和历年高考试题进行变式改造，重新成为高考试题的例子不胜枚举，因此我们要切实做到重视课本，精读教材，但仅此还不够，有些问题要在数学课本的基础上有所变化、有所提高.从这一点讲，变式探究符合广大师生提高考试成绩的心理，同时，变式探究也符合新课程倡导研究性学习的要求.

参考文献：

邵贤虎.高考圆锥曲线试题中的恒定问题赏析.中学数学月刊，2010（10）.

（作者单位 湖北省罗田县第一中学）