一道课本习题的探究与应用

原题:如图1,直线l1∥l2,ABC与DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》

习题19.1第8题）

认真研究本题可以得到以下两个命题：

命题：如图1，若直线l1∥l2，则SABC

=SDBC.

逆命题：如图2,若SABC=SDBC,则有直线l1∥l2

图1图2

证明：

如图2，过点A、D作AEBC,DFBC,SABC

=12BC・AE,SDBC

=12BC・DF.因为l1∥l2,所以AE

=DF.所以SABC=SDBC,命题1成立.

如图2，因为SABC

=SDBC=12BC・AE

=12BC・DF，所以AE=DF.

又因为AEBC,DFBC,所以四边形AEFD是平行四边形，所以

l1∥l2.命题2成立.

应用：

1.确定点的个数

例1已知：在正方形网格中，每个小格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，如图3所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）

(A) 3个(B) ４个

(C) 5个(D) 6个

分析：

因为SABC=1，AB=2，所以高为

2.

利用同底等高三角形面积相等，如图可以找到6个.故选(D).

图3图4

2.求图形面积

例2已知：如图4，直角梯形ABCD中，DC∥AB,AB=8,BCAB,BC=4,DC=5.求图中阴影部分面积.

解：连AC，因为DC∥AB,所以SADC=

SDCE.

所以S阴影=SABC

=12

×8×4=16.

3.证明定理

利用同底等高面积相等可以证明一些重要定理，例如三角形中位线定理，梯形中位线定理，平行线分线段成比例定理等.下面以平行线分线段成比例定理为例给出证明.

例6如图8，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点C.试探究在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点E，使得ACE与ACD的面积相等？若存在

，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由.

分析：

ACE与ACD同底，可利用两平行线间同底等高面积相等，如果过点D与直线AC平行的直线与抛物线有另一交点，则点E存在，否则不存在.

解：过点D作直线AC的平行线DM，由D（1，4）、A（3，0）可知抛物线解析式为：y=-x2+2x+3,则C（0，3），直线AC解析式为y=-x+3,直线DM解析式为y=-x+5,解方程-x+5=-x2+2x+3,得x=1或x=2.所以存在点E的坐标为（2，3）