对一道题目的再探究

【摘要】 高中数学的学习离不开解题，但不是解无数题就能学好数学的，解题需有研究，要能探究，变式训练，举一反三，不同的解法能够复习不同的知识，不同的解题思路，达到扩散思维，提高学生数学思维能力，解决一道题便解决了一类题的效果，下文以例感悟。

【关键词】 高中 数学 题目 思维能力

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）04-001-01

原题：已知点A（-1，2），B（1，4），在x轴上求一点P使得PA=PB，并求PA的值。

解析：这是一道平面解析几何的基础题。对于这道题目我们可以通过两点间的距离或者线段的垂直平分线的基础知识去解决。

解法一、

设P（x，0）

因为PA=PB

所以■=■

解方程，得 x=3.

所以P点坐标为（3，0），PA=2■.

解法二、

因为PA=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上。又线段AB的中点为（0，3），斜率为1，则线段AB的垂直平分线方程为x+y-3=0，所以P点坐标为（3，0），PA=2■.

对于这道题目的再探究，可以从条件和结论这两个角度去进行研究：

变式1：

已知点A（-1，2），B（1，4），在直线y=2x+1上求一点P使得PA=PB，并求PA的值。

评注：此题的变化只是将直线更一般化了，解题的思路没有变化。

变式2：

已知点A（-1，2），B（1，4），在直线2x+2y-5=0上是否存在点P使得PA=PB？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

解：由题条件可得直线AB的斜率为1，而直线2x+2y-5=0的斜率为-1.则这两条直线互相垂直，但直线2x+2y-5=0不是线段AB的垂直平分线，所以在直线2x+2y-5=0上不存在点P使得PA=PB.

评注：此题变成了对探索性问题的研究，将直线又变回了特殊情况了。说明并不是每一条直线上都存在着符合这样条件的点。

变式3：

已知点A（-1，2），B（1，4），在圆x2+y2=r2上存在点P使得PA=PB，求实数r的取值范围。

评注：此题将直线变成了动圆，研究直线与圆的位置关系。当线段AB的垂直平分线与动圆有交点时，就存在点P使得PA=PB.

变式4：

已知点A（-1，2），B（1，4），在直线x+2y+1=0上求一点P，使得PA+PB取最小值。

解：设点A关于直线l：x+2y+1=0的对称点为A1，连结A1B交直线l于点P.

设A1（x1，y1），由 得A1 （-■，-■）

则由两点式得直线A1B的方程为13x-9y+23=0，

由 13x-9y+23=0

x+2y+1=0 得 P（-■，■）

此时PA+PB取最小值为2■.

评注：此题对结论进行了变化，解题的思路也发生了很大的改变。利用点关于直线的对称来解决。当然此题可以以光线反射问题的实际情境出现。即：

已知光线通过点A（-1，2），经直线l：x+2y+1=0反射，其反射光线通过点B（1，4）。求这条光线从A到B的长度。

此题还可以将A、B两点放在直线的两侧，去求PA-PB的最大值。

变式5：

求函数f（x）=■+■的最小值。

评注：此变化则由几何问题转变成了代数问题，即函数的求最值问题。解决此类题目最好的方法就是利用式子的几何意义：已知点A（-1，2），B（1，4），在x轴上找一点P，使得PA+PB取最小值，并求此最小值。这样由几何问题转变成了代数问题的变化体现了数形结合思想。

在数学研究过程中，一题多变、一题多解往往是训练学生数学能力的一种有效手段，也是新课程改革中强调学生创新精神的一种重要体现。题目的变化训练对于学生思维能力的提高是很有必要的，但也要适可而止，要根据教材的内容和学生的情况来安排变式训练，要明确因材施教是课堂教学永远要坚持的原则。