一次不经意间的再创造教学

摘 要: “再创造”教学法建立在充分发挥学生的主体地位、体现“以人为本”的现代教学理念基础之上,是当代基础教育课程改革倡导的新的教学模式和方法。 本文作者抓住在分析一道典型例题时学生出现的不经意火花进行探究,通过引申推广、合作交流、实际应用,引导学生对习题进行再创造,揭示其数学本质,发挥其辐射作用,收到了激活学生数学思维,培养学生创新意识和探究能力的教学效果。

关键词: 典型习题 数学教学 探究交流 再创造

世界著名教学教育权威――荷兰数学家弗赖登塔尔提出的“再创造”,目前已被视为数学教学方法的核心。“再创造”教学法建立在充分发挥学生的主体地位、体现“以人为本”的现代教学理念基础之上,是当代基础教育课程改革倡导的新的教学模式和方法。现代的数学教学,不应再是将单纯的教学内容作为现成的产品强加给学生,而要想办法引导学生进行“再创造”。因此教师应使学生在学习过程的不同层次中,始终处于积极创造的状态。解题教学时数学教学的一个重要环节,也是提高学生数学能力的主要途径。我认为,在解题教学中教师若能在教学中,善于针对学生出现的思维火花或是不经意间的发现能够迅速反应并“打破砂锅问到底”从而在不经意间完成了一次成功的“再创造”教学。

一、问题的提出

题目:某射手进行射击训练,假设射击击中目标的概率为,且各次射击的结果互不影响。(1)求射手在3次射击中,恰好连续2次击中目标的概率;(2)求射手第3次击中目标时,恰好射击了4次的概率;(3)若射手共射击10次,设ξ为恰好击中目标的次数,问K取何值时,P(ξ=k)为最大?

这是在高二上的期中复习卷《选修2―3》概率综合练习中的一道关于二项分布的概率复习题,出卷老师由于疏忽,把题目从别的资料上拷贝过来时把原本不作要求的问题(3)也拷了下来,而我当时想看看班里到底有没有人会自主地分析解答出这第(3)问,也就没有删除这一个问题。结果次日去讲评试卷的时候发现,学生中涌现出了不少精彩的思维火花,于是原本计划讲评整张试卷的课变成了本题的专题讲座,课堂气氛也是异常的热烈。正好当天有同组的教师听课,于是我也加入了大家的探讨之中,成就了一节服从二项分布的随机变量取何值时概率最大的再创造教学课。

二、问题的探究

分析:本题的前两问难度不大,却是学生再创造学习的起点,同时也符合学生从易到难、从简单到复杂的认知规律。(1)中“恰连续2次”则连续的两次可以是第1、2次,也可以是第2、3次,于是P=2××;(2)中应理解为第4次必定是击中的,而前3次中有两次是击中的,有一次是没有击中的,于是P=C×××=。

在这两问的基础上,(3)中学生基本上都能列出式子P(ξ=k)=C××,0≤k≤10且k∈Z,但是对何时概率最大确是无从下手,茫然不知所措。这时就需要教师对学生进行引导启发,引导学生对问题进行“再创造”,从而解决问题,并进行推广。

于是,我先让全班学生对上式进行整理,把P(ξ=k)=C××整理为P(ξ=k)=C・・=・C・,并且指出最大、最小值问题无非就是增减性问题,在上式中C是组合数,学生很熟悉它的增减性,C为先增后减,而可以看成是关于k的指数函数f(k)=,k=0,1,2,…,10,它是一个增函数,于是合起来研究,可以怎么去分析呢?

在给出这些初步分析后,学生马上讨论开了,于是我适时地把全班学生分成了两个组进行讨论,十分钟后选出代表总结发言。我巡视并解惑。十分钟后,甲组代表A总结说,P(ξ=k)=C・・=・C,0≤k≤10且k为整数,这个式子可以理解为先增后减的函数,于是可以在中间项的附近找。所以他们计算了P(ξ=5),P(ξ=6),P(ξ=7)这三个值,发现P(ξ=6)时最大,于是他们组认为最有可能击中6次。还没有等他发言完,另一组就有人反对了,于是等这位学生一说完,马上有学生反对说,他们赞成刚才那位同学关于把这个看成一个增函数,但考虑到C为先增后减,而f(k)=,k=0,1,2,…,10,一直增,那就有可能是f(k)=,k=0,1,2,…,10的增长远远快于C的减小,所以在中间项之后综合起来还是在增长呢?那么前一组同学的解法就有明显的漏洞甚至是错的了。

显然,这位学生的思考更为严密,也更具一般性,这也是我们必须考虑的问题。于是第一组学生马上反驳说:那还不简单,就用函数单调性证明好了。并且马上示意同组的平时善于计算并且大家一致认为比较仔细的同学马上动手演算。于是我也就顺势请了两组里的各一位学生到黑板上来板演。有趣的是,一位学生采用了如下的证明方法:设G(k)=C,k=0,1,2,…,10,任取k,k∈{0,1,2,…,10}且k

另一位学生刚好采用的是作商的处理方法,得到:

==・,k=1,2,…,10。

这里比较明显地可以看出等号右边的是大于1的,而也是大于1的,于是比较容易地可以得到>1即G(x)>G(x),所以为增函数。于是论证了第一组学生的做法可以成立。

正当第一组学生击掌庆贺之时,有位学生突然提出:其实干嘛要这么麻烦地证明呢?这个学期我们不是经常用信息技术模拟的吗,那就让老师在几何画板里模拟画一下这个函数的图像不就知道是增是减了吗?而且由于问题的本质就是,考查P(ξ=k)=C・・=・C・,在k取不同值时的大小。而解决这一本质问题,利用信息技术不仅方法很多,而且很方便;利用纸笔却很烦琐,据了解,我们组很多同学正是因为繁琐就放弃了。类似这样的问题,在数学教科书中很普遍。由此我们认为,在数学学习中坚持使用信息技术,对解决数学问题、提高学习效率是有促进作用的,可班主任把我们的计算器都交空了。此话一出,全班是一片笑声。可笑归笑,这里还确实是这么回事,毕竟现在我们是在自主探究啊,借助一些先进的工具当然是无可厚非的。

于是这一提议得到了大家的同意,我也就欣然同意了,模拟的结果当然也就印证了学生的研究成果。

接着,我在学生研究的基础上指出,只需探究:当06.6时,P(ξ=k-1)>P(ξ=k);由以上分析可知,该射手在10次射击中,最有可能6次击中目标。至此,可以说对本题才算有了一个比较清晰的认识。实际上,二项分布是应用最广泛的离散型随机变量概率模型,所以对二项分布有关的一些问题进行探究是很有意义的。学生在看了我给出的方法后一致认为这个方法会更好更简洁。

三、问题的拓展

于是,我又就势给出了下面的思考题。

如果X~B(n,p)其中0

问题一出,学生马上反应出是递增的,只需计算>1?

==・=1+>1,

>0。

k(1-p)>0,

只需np+p-k>0,

k=[np+p]时,服从二项分布的随机变量取何值时概率最大。

四、成果的应用

既然学生顺利地获得这一成果,我又给出了这样的一个应用练习:用计算器或计算机研究:(1)如果ξ~B(20,),求使P(ξ=k)取最大值的k的值。(2)如果ξ~B(n,p),其中0

这下,教室里凭空出现了不少计算器,结果当然是不错,学生都能很快地求得结果,少数几个至少理解上没有问题,只是计算上出现了失误。

四、课后反思

总之,学生要形成一个数学的概念或者解题的方法,需要经历一个从片面到全面,从模糊到清晰,从表象联系到本质联系的复杂思维过程,绝不可能一步到位。这节课,我就在不经意间发现从学生原有的“数学现实”出发,以问题为引导,让学生从问题中探究,在探究中发现,使学生逐步认识到这一规律,并加以深化,从而在学生头脑中建立起真正属于他自己的深刻的知识发现与应用过程的记忆。这样的教学过程,看是不经意的,实质上却使学生受到了一次生动具体的再创造的训练过程,在这个过程中,也培养了他们执着探索,勇于发现,不断进取的数学精神。

参考文献:

[1]姜军.由一道习题引起的“再创造”教学.浙江江山中学,2007.8.

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文