观摩一次说题比赛的几点感受

去年有幸到浙江省湖州市聆听了高中数学新课程教师综合素质之说题比赛,选手16人来自湖州地区各高级中学.笔者结合本次活动所说的内容,对本次活动谈几点感受,希望与大家共同交流和讨论．

1 试题来源

题目 已知椭圆E经过点A（2,3）,对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=12．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程．

本题为安徽省2010年高考数学理科卷第19题前两问,考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识.从近两年各省的高考试题来看,圆锥曲线的定义、几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系是高考的热点．

2 说题本质

解数学题的本质是：要找到并且规范而简明地表述出从题目的已知条件到题目的要求目标的一系列命题转化的一条通路［1］.简而言之,说题就是利用教学语言口述探寻解题通路的思维过程以及所采纳的数学思想方法和解题策略.通常,说题的内容涉及问题的4个方面：

2.1 说题意

说出问题的背景,已知条件,要求目标和编题意图,并注意隐含条件．

圆锥曲线的内容在近几年的高考试卷中所占比例一直稳定在14%左右,解答题侧重考查逻辑推理能力、运算能力、分析解决问题能力,常与函数、方程、向量、数列和导数相结合命题．

从考查内容上看,本题涉及的内容较多,既考查椭圆的定义及标准方程、简单几何性质,又考查直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识；从解题方法上看,本题考查了求曲线的轨迹问题,是高考中的一个重点,在历年高考中有关曲线的轨迹方程出现的频率较高．

2.2 说思维

说思维是指简述探索解题途径的思维方法和心理活动过程.探索解题途径的常用方法有以下四种：①采用化整为零,各个击破的分解策略,即将问题分解成若干个能够解答的小问题；②利用化归思想,将命题逐步转化为已经解决的问题；③采用分析综合法,将已知条件顺推,要求目标逆推,对比着寻找联结点；④运用直觉思维和灵感思维,从类似问题的解法中迁移和渗透解题思维规律,套用模式识别来解题．

纵观本题,有些参加说题的老师给出了十二种解法,自然相当了得,但笔者以为说题比赛不是纯粹的一题多解,学生在探索解题过程中能够使用的解法和构建这些解法的心理机制,更是我们说题时需要去关注的.一般,针对本题学生最常见的解题心理机制：

(1)角平分线：点到角两边的距离相等；

(2)抓住此焦点三角形为直角三角形的特点,利用三角函数相关知识；

(3)向量加法――体现向量工具性；

利用(1)解题完全套用了模式识别,其思维属于下意识思维；利用(2)解题属于化整为零,将问题分解到直角三角形中,利用从边――角――三角恒等变换,一步一步解决；利用(3)解题体现了向量的工具性,属于转化化归思想的综合运用.综上,笔者以为说思维关键还是说清楚学生建构此类方法的心理机制．

2.3 说思路

说出问题解决的步骤,及所用数学知识和数学思维方法,并注意是否需要讨论和检验．

以本题为例,针对上述2.2学生最易建构的方法,说解题思路：

(1)利用“角平分线――点到角两边的距离相等”,采用解析几何最根本的求轨迹方法,但计算中产生增根,即外角的平分线,所以还要根据图形判定舍去哪一条直线．

(2)利用角平分线的定义,最基本的想法是此直线平分该角.此解法入口较低,仅利用角平分线定义即可.但计算过程对三角恒等变换的知识有一定要求．

(3)根据维果斯基“最近发展区”理论,学生现有水平――“用向量知识解决向量问题”,到学生可能发展水平――“用向量知识解决解析几何问题”,两者中间属于学生的“最近发展区”――在平面几何图形中用向量知识解决向量问题.这样搭建了“脚手架”――利用向量加法知菱形的对角线为角平分线这一性质求解,适合解决一般三角形角平分线问题,具有推广性．

另外,还有些优秀的思路,可以做适当引导,但不宜面面俱到．

(4)利用角平分线定理来解决问题,但现在新教材对此定理已经不要求,体现了“几何问题”向“代数问题”的转化．

(5)利用直角三角形的内切圆的特殊性,若求出该三角形内切圆的半径,则进一步可以得到内心的坐标,进而求出角平分线的方程.此法的计算量较小,计算要求不高,有一定思维含量,为较新颖的一种解法．

(6)发现此三角形是椭圆的“焦点三角形”, 椭圆的“焦点三角形”有其固定面积公式b2•tanθ2,是我们研究圆锥曲线时的一个常用的结论,利用面积公式得到所求直线的斜率,此解法比较简洁,但必须利用已知结论才能体现求解过程的简洁．

(7)利用椭圆的光学性质,解法较简洁,但除了椭圆的光学性质外,还需要掌握过椭圆上任意一点(x0,y0)的切线方程x0xa2+y0yb2=1(若不利用已知结论,计算量则很大)，虽然不是最佳解法,但其变式和推广具有很好的探究价值．

2.4 说规律

举一反三、触类旁通，从一题多解、一题多变和多题一解中渗透解题思维规律,概括出一般数学原理、教学规律,并交流心得体会．

例如,问题可以变为：

(1)改变点A坐标取值或离心率的值会产生什么样的变化？体会特殊到一般的数学思想,基本定义,通解通法的重要性．

(2)将问题变为双曲线,可以体会“形变质不变”；将点A动起来,可以体会“质变神不变”．

(3)将问题的背景抽去,其实就是对一个三角形和过一个顶点的角平分线的探究,这才是编制此问题的本质．

因此,现代意义的解题教学特点：更注重解题的过程、策略以及思维品质的培养；更注重解题过程中的情感、态度、价值观,从变化中寻求不变才是教师所追求的和学生需掌握的．

3 说题目标

在观摩说题比赛的整个过程中,笔者能感受到教师们都能以课程标准的培养目标为依据来展开教学过程.如关注学生认识数学知识的发生发展的过程,关注数学思想对学生的引导,关注一题多解带来的思维发散效应,关注学生的情感、态度与价值观等方面做出了积极的探索和很大的努力,这些都是很好的,但是笔者觉得在处理说题目标的具体性、适度性和恰当性上把握不够,甚至有些混乱．

有的老师几乎就干脆将课程标准上的说法套用一下.实际上一道题的说题目标应当结合本题要学习的数学内容的特殊性,分解课程标准的总目标.也就是说,一道题的说题目标应当是具体的、恰当的,否则,笼统的、抽象的目标形同虚设．

笔者以为说题目标应该分三类,以本题为例：

(1)初级目标是教会学生解题的方法,主要是前文中叙述的前三种方法,对学生的知识基础、能力水平作动态的估计,将问题设置在学生思维的最近发展区,让学生经过探索后能够解决问题.

(2)中级目标是在解题之后引导学生反思、变式,及领会解题过程中运用的数学思想方法,如前文中叙述的其余四种优秀思路,为学生提供自主探索、合作交流和实践创新所需的时间和空间,激励学生广开思路,另辟蹊径,去探寻更好的、更一般性的解法.

(3)高级目标是根据学生的生活经验和认识水平,搜集加工或自行设计编拟一批开放性问题,进而做些探究性的学习,培养学生的发散思维、求异思维、直觉思维和创新思维,同时还要注意封闭题与开放题的合理搭配,把握好归纳与演绎的度,做到收敛思维与发散思维交替运用,及同化与顺应的平衡,让学生掌握数学思维的规律、特点和方法,在参与思维中发展能力,在知识、规律的探索和归纳中形成创新意识．

4 如何处理说题时数学化和人文化之间的关系

当前我国的数学课程改革提倡“把数学知识应用于现实生活,培养学生的创新精神与创新能力,培养学生学习数学的自信心、自觉性,关注学生的全面发展,以学生发展为本,满足学生的需求与兴趣,积极推进数学教育的人性化与人文化”.这些做法是进一步完善数学教育,提高学生的数学能力.但不能仅仅为了实现数学教育的数学化,而忽视了人文化.从本次说题中,笔者发觉有些解法过于偏颇、过于技巧,太重数学化,明显对在课堂是否能真正实施欠考虑,不关注学生认知水平及参与程度,这样做本末倒置,不能实现学生通过一个优秀试题使其在数学解题上得到较大的发展．

这次市说题比赛为我们提供了一个观摩和交流、学习和思考的平台,让我们继续反思如何通过一个高考典型试题,通过说题说清题意、思维、思路和规律,让教师教学水平得到进一步的发展.用已故特级教师孙维刚的话就是“八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底”――说题使教师站在更高的舞台来指导教学,愿这样的活动能多举办,使越来越多的数学老师从中受益．

参考文献

［1］ 乔家瑞.高中数学解题方法与技巧［M］.北京:首都师范大学出版社.1994.

［2］ 成克利.中学数学教学中开展说题活动的实践与认识［J］.数学教育学报，2001,(5).

作者简介 郁来雷，男，1979年，中教一级；2010年7月荣获第十届浙江省嘉善县教学能手称号，在中学数学杂志发表文章数篇.