漫谈数学教学中的“镜”意识

【前言】漫谈数学教学中的“镜”意识由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。新课程倡导学习的自主性与创新性,笔者认为我们要尽量放手学生,做到“该放手时就放手”,让学生仔细分析自己的学习过程,鼓励学生勇于向他人展示自己的思路,可以尝试让学生在课堂上“说思维”、“说题”等等,这样做表面上看似乎是远离了课堂目标达成的轨道,浪费了课堂上...

高中数学新课程突破以往传统的教学理念,为新时代的数学教师注入新鲜的血液.笔者通过学习新课程标准并结合自己的教学实践觉得新时代的数学教师应该建立自己的“镜”意识,在工作中摒弃那种静止的、僵化的、一成不变的定势思维和“一俊遮百丑”的偏颇思维,用变化的、发展的、进步的动态眼光去看待和研究我们的学生以及学生的数学学习.要看到学生的“远处”,看到学生的“未来”,着眼于学生的自我学习、自我驾驭、自我锻选能力的培养.

1 放大镜意识：放大学生的能力

学生在数学学习中有自己的想法,他们未必能按照教师预设的轨道前行,此时作为教师就要有能力判断学生的思路与想法是否有它存在的价值,倘若是合理与可行的,教师都应该善于捕捉和搜取,及时而充分地分析其存在的内在动机和外在影响,不失时机地用“放大镜”意识进行适当的“放大”鼓励,这样既是对学生本人的再接再厉、更上一层楼的激励,又是对其他同学行为选择的导向.

在探究等比数列前n项和的过程中,给出实际情境后,笔者提出探究任务：如何求和1+2+22+23+…+258+259？笔者的预设思路是让学生通过类比推导等差数列前n项和公式的“倒序相加法”联想到“错位相减法”.但此时有学生提出一种根据2n+2n=2n+1得：

1+2+22+23+24+…+258+259=1+1+2+22+…+258+259-1=260-1的方法.这种思路离开了教师预设的思路,但教师在此时应该找出它存在的合理性,对学生的能力给予充分的肯定.教师放手请学生讲述他是怎样想到这样推导的,引导学生回忆他的思路.在教师的鼓励与同学们的掌声下,学生大胆地走上讲台进行叙述.下面教师将学生口语化的语言转化为比较规范的语言表达出来：等差数列求和的重要方法是倒序相加法,把不易求和的问题转化为易于求和的问题,从而求和的实质是减少了项,我现在这样做也是达到了逐渐减少项数的目的,形成“连锁反应”.笔者肯定了学生的想法,并表示对学生能力的欣赏.进而再指出这种方法利用了2n+2n=2n+1,但此法不具备一般性,如果把上式中数字2换为3或其它的数则不行了,所以让学生继续思考还有没有其他的方法？

新课程倡导学习的自主性与创新性,笔者认为我们要尽量放手学生,做到“该放手时就放手”,让学生仔细分析自己的学习过程,鼓励学生勇于向他人展示自己的思路,可以尝试让学生在课堂上“说思维”、“说题”等等,这样做表面上看似乎是远离了课堂目标达成的轨道,浪费了课堂上宝贵的时间,但我们要明确的是,数学教学的最终目标是培养学生的数学思维,而不是培养学生遵循教师预设的轨道循规蹈矩、稳扎稳打的前进,这样培养出来的只是“解题机器”,并不是富有个性与创造性的个体.所以我们宁可在课堂上“浪费”些时间“放大学生的能力”,收获的或许更多,学生学习数学的积极性提高了,学生学习数学的信心增强了,学生数学思维更开阔了.

2 显微镜意识：见微知著

也许陶渊明先生本人也不会想到,他的大作《桃花源记》蕴含的哲理,会广泛应用于发明和发现,应用于学习和教学,特别是应用于数学思维的培养和教授数学思维方法.说的是,渔翁沿溪行,忽逢桃花林,欣赏忘撒网,林尽水源山,突见一小洞,仿佛若有光,似有新天地,弃船往里钻,勇行数十步,果豁然开朗,世外伯乐图,展现在眼前!概言之,见微而知著,导致新发现!学数学既要有那位渔夫的勇气,准备着失败,又要有见微知著的本领,也就是“神经过敏”,既勇于探索,又善于探索.生活中神经过敏不好,思想包袱将使你活得太累,可是在数学学习中没有“神经过敏”,许多成功的发现就会悄悄地从身旁滑过.

数学教师必须建立“显微镜”意识,悉心观察,见微知著,尽力做到充分挖掘学生的数学潜能.在“点到直线距离”公式的推导过程中,教材分析了最大众化的方法思路,但并没有引导学生进行计算,并指出这种方法运算较繁琐.但殊不知这种方法也许就是学生最“够得着”的方法,通过笔者的教学实践,多数学生首先想到的也是这种方法,所以在此笔者觉得应该使用“显微镜”意识,放大教材,让学生勇于探索、敢于计算,因为计算能力也是高中数学需要培养学生的能力之一.问题：已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,探求点P到直线l的距离.这里只讨论A、B都不为0的情况,过点P且与直线l垂直的直线方程是y-y0=BA(x-x0),解方程组可得垂足点Q(x′,y′)的坐标,进而求得垂线段的长｜PQ｜=｜Ax0+By0+C｜A2+B2.教师可以继续引导学生简化和优化,第一次简化：由两点间距离公式及y-y0=BA(x-x0)可得｜PQ｜=1+B2A2｜x′-x0｜,于是解方程组时只要解出一个值就可以了,计算量有所减少；第二次简化：由PQ|=(x′-x0)2+(y′-y0)2知,将x′-x0、y′-y0作为整体进行处理,l的方程Ax+By+C=0可以改写为A(x-x0)+B(y-y0)=-Ax0-By0-C,垂线的方程改写为B(x-x0)-A(y-y0)=0,两式平方相加便直接得点到直线的距离公式.

3 三棱镜意识：色散数学的美

所谓“色散效应”是指：一束白光经过三棱镜后会形成一个由红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七色光组成的彩带.根据三棱镜的“色散效应”,对其进行“色散”分析和“折射”处理就是一招妙法.如果数学教师能够具备三棱镜的“色散”意识,善于用“奇伟寓于平凡”的审美理念加以分析,就不难发现数学所隐含的各种色彩和闪光点.

高中数学中的很多知识之间都具有很强的联系,这就需要数学教师与学生都具有“色散”的眼光.比如向量与三角,看似两个独立的章节,其实通过“变换”可以统一.学生对于三角中的“诱导公式”很是觉得头痛,因为公式多,容易记错,虽然大多数教师都让学生记口诀“奇变偶不变,符号看象限”,但即使学生当时是记住了,但到期中、期末复习,甚至高考复习时又会感到陌生,寻其关键原因就是这种记忆并非建立在理解的基础上.我们可以使用“向量”和“变换”的知识来推导两个公式,其余公式由这两个公式推出.不妨从单位圆上的一个向量(即一个角θ或一个点(x,y))开始,而且让它旋转.我们定义两个基本变换,向左转90°,T1：θθ+π2；对x轴反射,T2：θ-θ.可以说明所有的变换θ±θ+kπ2,k=0,±1,±2,…都可以由T1和T2生成.若单位圆上一点(x,y)经T1变为(x′,y′),我们记(x,y)点就是向量xi+yj,在旋转π2后,i变成为j,j变成为-i,所以xi+yj变成为x′i+y′j=-yi+xj,则x′=-y,y′=x,即cos(θ+π2)=-sin θ,sin(θ+π2)=cos θ.这是一个优美而简单的证明.我们还可以证明若单位圆上一点(x,y)经T2变为(x′,y′),则(x′,y′)仍在单位圆上,而且x′=x,y′=-y,即cos(-θ)=cos θ,sin(-θ)=-sin θ.

诸如以上的实例,由于数学是一个充满内在联系的统一体,所以在数学中有很多知识体现出内在的联系与统一性,由一个知识点可以进行“色散”,色散出很多与之有联系的知识点,让学生看到数学的统一美.

4 平面镜意识：平凡中显情感

平面镜的成像规律人尽皆知：即物体经平面镜可成正立的虚像,物像等大且关于镜面对称.在我们的数学教学与学习中,教师应该建立“平面镜”意识,在平凡中显情感,尤其要关注学生的数学情感.学生的数学情感犹如这个“像”,只有我们教师认真关注,“像”才会成得逼真,也唯有如此才可发挥对学生数学学习的激励作用.“以情优教”是情感教学心理学联系教学实际的一个基本理念,也是情感教学心理学这一新学科领域开拓的出发点和归宿.由于情感行为与认知行为的统一性,培养学生数学情感一定要以开启学生数学思维为基准与目标,丰富的数学情感能促进学生数学理性思维的强化,而深刻的数学理性思维又能增进学生对数学学习的情感,所以说,关注学生的数学情感是帮助学生成好“逼真”的“像”和学好数学的重要条件.

人本主义教育心理学家罗杰斯认为,真实的问题情境和活动是最能引起态度和个性情绪的学习方式.精心设计数学问题,创设适宜的教学情景,使学生的情绪受到感染,利用情感对认知学习的制导作用,来驱动、诱导学生的学习动机,产生为达到目标而迫切学习的心理倾向.在双曲线的学习中,教材中提供了素材：一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处听到爆炸的时间晚两秒,爆炸点应在什么样的曲线上？在平凡的素材中教师可以进行二次创作,将素材进行改编：军事战争中据资料记载,在抗美援朝早期,我志愿军某炮兵团冒着生命危险,侦察出美军阵地,我方当机立断,火速炮击,可不久美军就会将炮弹比较准确地打到我军阵地,美军为何能这样准确呢？原来他们在阵地旁建有如图1所示的A、B、C三个固定观测点,根据听到我方阵地任意位置D处打炮声的时间差及声速就能确定我方位置,而不需要冒任何生命危险.请学生们利用已学的双曲线知识解释其中的原因.在问题解决之后,教师及时向学生进行爱国主义教育：当时我志愿军战士都是工农子弟兵,没有美军士兵的文化程度高.这充分印证了“落后就要挨打”这句名言.试想,若我国的综合国力和军事技术都是世界第一,你看美国还敢不敢来干涉我国的!小泉还敢不敢不顾我们中国人民的感情,屡次去参拜靖国神社!同学们,为中华民族之崛起而努力学习吧!这样学生学习数学的激情之中又熔铸了爱国主义的热情,达到了教学与教育的双重功能.

5 写在最后

在新课程的背景下,我们的数学课堂教学要实现“知识与技能”、“过程与方法”、“情感、态度与价值观”三维目标,提倡“数学探究”、鼓励“数学建模”、渗透“数学文化”,那就必须要在教师与学生的心目中树立这样的“镜”意识,在数学课堂这片肥沃的土壤中养育学生的数学创造能力与数学素养.

作者简介 俞昕，女,中教高级,硕士;研究方向：数学文化、数学校本课程等.