从一道美国竞赛题谈起

美国普特南数学竞赛(1963年)中有这样一道题：

设f(x)是定义在自然数集上且取自然数的严格递增函数,如果f(2)=2,且当m,n互素时,有f(mn)=f(m)f(n).

(1)

证明对一切正整数x,有

f(x)=x.

为了讨论方便,我们把上面的竞赛题改写为下面命题的形式(把原竞赛题中的“自然数”换为“正整数”)．

命题1 设f(x)是定义在正整数集上且取正整数的严格递增函数,如果f(2)=2,且当m,n互素时,有f(mn)=f(m)f(n)

(1)

那么对一切正整数x,有

f(x)=x.

证明 1)因为f(2)=2,且f(x)严格递增,所以,f(1)

2)由f(x)严格递增可知,f(3)>f(2),而f(2)=2,所以,f(3)>2.取m=3,n=7(显然3与7互素),根据（1）式及函数的单调性,有

f(3)f(7)=f(21)

即f(3)

3)现在我们用反证法证明,对于任何正整数x,都有f(x)=x成立.

假设n0是使f(n)≠n成立的最小正整数,则n0≥4.由函数的单调性可知当n≥n0时,应该有

f(n)>n

(2)

当n为奇数时,2与n0-2互素,根据(1)式有

f［2(n0-2)］=f(2)f(n0-2)=2(n0-2),

(3)

因为n0≥4,所以2(n0-2)≥n0,与f(n)>n矛盾；

当n为偶数时,2与n0-1互素,故

f［2(n0-1)］=f(2)f(n0-1)=2(n0-1),

(4)

因为n0≥4,所以仍有2(n0-1)≥n0,(4)式与(2)式矛盾.

这就是说,不存在使f(n)≠n的最小n0,所以f(n)=n对一切正整数n都成立.

如果保留命题1的基本条件(1)不变,适当改变其它条件,那么就可以得到下面的命题2．

命题2 设f(x)是R上严格递增的连续函数,如果f(1)=1,f(-1)=-1,且对一切x,y∈R,都有f(xy)=f(x)f(y),

那么对一切实数x,有f(x)=x.

证明 1)当x取正整数时,由命题1可知结论成立.

2)当x=0时,因为f(0×0)=f(0)f(0)=f2(0),即f(0)［f(0)-1］=0.因为f(x)严格递增,f(0)

3)当x取负整数时,令x=-n,则f(-n)=f(-1×n)=f(-1)f(n)=-n.

4)当x取有理数时,因为1=f(1)=f(n•1n)=f(n)f(1n)=nf(1n),所以,f(1n)=1n.

从而f(mn)=f(1nm)=f(1n)f(m)=mn.

5）当x取实数时,对任意x∈R,存在有理数列{xn},n=1,2,3,…n,使limn∞xn=x,根据函数的连续性及f(mn)=mn,有f(x)=limn∞f(xn)=limn∞xn=x.

如果把命题1中的条件 “f(mn)=f(m)f(n)”改为“f(m+n)=f(m)+f(n)”并适当调整其它条件,那么就可以得到下面的命题3．

命题3 设f(x)是定义在正整数集上的函数,如果f(1)=1,且对一切正整数m,n都有

f(m+n)=f(m)+f(n)那么对一切正整数x,有f(x)=x.

证明 用数学归纳法不难证明

f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)，其中xi(i=1,2,3,…,n)是正整数.

在上式中取x1=x2=…=xn=x,则有f(nx)=nf(x).(5)

在（5）式中令x=1,得f(n)=nf(1).又因为f(1)=1,所以f(n)=n.即f(x)=x,其中x是正整数.

如果把命题3中x的取值范围进一步拓宽,换为全体实数,那么就可以得到下面的命题4．

命题4 设f(x)是R上的连续函数,如果f(1)=1,且对一切x,y∈R,都有

f(x+y)=f(x)+f(y)，

那么对一切实数x,有f(x)=x.

证明 1）当x取正整数时,由命题3可知,结论成立.

2)当x=0时,因为f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),所以f(0)=0.

3)当x取负整数时,令x=-n,则

0=f(0)=f(n-n)=f［n+(-n)］=f(n)+f(-n),即f(-n)=-f(n)=-n.

4)当x取有理数时,令x=mn(n∈N*,m∈Z),则nf(mn)=f(nmn)=f(m)=m,

即f(mn)=mn.

5)当x取实数时,对任意x∈R,存在有理数列{xn},n=1,2,3,…,使limn∞xn=x,

根据函数的连续性及f(mn)=mn,有f(x)=limn∞f(xn)=limn∞xn=x.

在命题4 中,如果把“f(x+y)=f(x)+f(y)”中的x,y分别用x2和y2代换,那么就有f(x2+y2)=f(x2)+f(y2),如果再把这个表达式从形式上稍做调整,就得出了我们在研究曲线凹凸性时常用的表达式f(x+y2)和f(x)+f(y)2.现在我们要问,如果把命题4中的f(x+y)=f(x)+f(y)换为f(x+y2)=f(x)+f(y)2,而其它条件不变,那么f(x)应该具有怎样的表达式呢？

事实上,因为

f(x2)=f(x+02)=f(x)+f(0)2; 12［f(x)+f(y)］=f(x+y2)=f((x+y)+02)=12［f(x+y)+f(0)］.

所以,f(x+y)=f(x)+f(y)-f(0)

即 f(x+y)-f(0)=［f(x)-f(0)］+［f(y)-f(0)］.

令g(x)=f(x)-f(0),则g(x+y)=g(x)+g(y),且g(1)=f(1)-f(0)=1-f(0),

若令f(0)=0,则g(1)=1,此时,由命题4可知,g(x)=x,即f(x)=g(x)-f(0)=x.

这样,我们就得到下面的命题5.

命题5 设f(x)是R上的连续函数,如果f(1)=1,f(0)=0,且对一切x,y∈R,

都有f(x+y2)=f(x)+f(y)2

那么对一切实数x,有f(x)=x.

对于命题5,我们也可以通过几何直观做出推断.我们知道,在区间间(a,b)内,若f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2,则曲线y=f(x)是上凸的,若f(x1+x22)

通过上面的讨论可以看出,尽管各个命题的条件不尽相同,自变量x的取值范围也不一样,但函数的表达式都是f(x)=x,可谓“殊途同归”.根据这些结论,我们可以自行设计一些相关的问题,用以训练学生的思维．

作者简介 司志本(1959―),男,河北兴隆人,河北民族师范学院教授.