分类讨论思想精读

分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集）.做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.

由数学概念、性质、运算引起的分类讨论

（1）由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类. （2）运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以实数[a]，三角函数的定义域，去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.

例1 当[x∈[-2，1]]时，不等式[ax3-x2+4x+3≥0]恒成立，则实数[a]的取值范围是（ ）

A.[-5，-3] B. [[-6，-98]]

C.[-6，-2] D.[-4，-3]

解析 （1）当[-2≤x

令[f（x）=x2-4x-3x3（-2≤x

则[f（x）=][-x2+8x+9x4]=[-（x-9）（x+1）x4]，

故函数[f（x）]在[-2，-1]上单调递减，在（-1，0）上单调递增.

此时有[a≤fmin（x）=f（-1）=][1+4-3-1]=-2.

（2）当[x=0]时，不等式恒成立.

（3）当[0

令[g（x）=x2-4x-3x3（0

则[g′（x）=-x2+8x+9x4].

故函数[g（x）]在（0，1]上单调递增，此时有[a≥gmax（x）=g（1）=1-4-31]=-6.

综上，[-6≤a≤-2].

答案 C

由图形位置或形状引起的讨论

求解有关几何图形问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.

例2 已知变量[x，y]满足的不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数[k]等于（ ）

A.-[12] B. [12]

C.0 D.-[12]或0

解析 不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的可行域如图（阴影部分）所示.

由图可知若不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的平面区域是直角三角形，只有直线[y=kx+1]与直线[x=0]垂直（如图①）或直线[y=kx+1]与直线[y=2x]垂直（如图②）时，平面区域才是直角三角形.

[① ②]

由图形可知，斜率[k]的值为0或-[12].

答案 D

由参数引起的分类讨论

一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论. 此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要适当地运用数形结合思想，分类要做到标准明确，不重不漏.

例3 已知函数[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e=]2.71828…为自然对数的底数.设[g（x）]是函数[f（x）]的导函数，求函数[g（x）]在区间[0，1]上的最小值.

解析 由[f（x）=ex-ax2-bx-1]得，

[g（x）=f（x）=ex-2ax-b].

所以[g（x）=ex-2a].

因此，当[x∈[0，1]]时，[g（x）∈[1-2a，e-2a]].

（1）当[a≤12]时，[g（x）]≥0，

所以[g（x）]在[0，1]上单调递增，

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].

（2）当[a≥e2]时，[g（x）]≤0，

所以[g（x）]在[0，1]上单调递减，

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].

（3）当[12

所以函数[g（x）]在区间[[0，ln（2a）]]上单调递减，在区间[（ln（2a），1]]上单调递增.

于是，[g（x）]在[0，1]上的最小值是

[g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.]

综上所述，当[a≤12]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].

当[12

当[a≥e2]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].

常见的分类讨论问题

（1）集合：注意集合中空集的讨论.

（2）函数：对数函数或指数函数中的底数[a]，一般应分[a>1]和[0

（3）数列：由[Sn]求[an]时分[n=1]和[n>1]讨论；等比数列中分公比[q=1]和[q≠1]讨论.

（4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.

（5）不等式：解不等式时对参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.

（6）立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.

（7）平面解析几何：直线点斜式中[k]分存在和不存在，直线截距式中分[b=0]和[b≠0]讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.

（8）排列、组合、概率：分类计数问题.