浅谈《近世代数》课程中的实例教学

【摘要】从教学实际出发考虑改革教学方法，加强实例教学.通过具体实例，逐一引导学生理解群的概念并掌握由半群到群的演绎过程，引导学生思考环与其子环的单位元之间的关系.

【关键词】实例教学；半群；群；单位元

【基金项目】2013年，国家自然科学基金面上项目，关于AI半环簇与Coway半环簇的研究，项目编号：11261021；2016年，江西师范大学博士启动基金，幂半群的若干研究.

引言

近世代数课程一方面由于概念多、理论性强、内容抽象等，学生往往感到抽象难懂；另一方面，老师在教学中也存在直接用“定义―命题―定理―证明”的模式讲解.这种传统的近世代数课程教学模式单纯地追求概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性和体系的完整性，势必导致一些学生感到近世代数枯燥乏味、无用，从而直接影响学生对近世代数课程和后继课程的学习热情.所以，近世代数课程的教学改革势在必行.

近年来，国内众多学者都对近世代数这门课程的教学改革提出了自己的设想.详尽而细致的举例将让学生体会从特殊到一般，再进行抽象这样一个过程.应该通过具体例子引出概念，由浅入深，这样更有助于学生对概念的理解.从教学实际出发考虑改革教学方法，加强实例教学，将几个重要实例渗透到教学的全过程.通过典型例子理解概念，举一反三达到效果.强调要讲好近世代数这门课程，就必须重视由具体到抽象原则的讲课方法.所谓由具体到抽象的原则是指先举出具体实例，由具体实例得出性质、结论，进而猜想抽象到一般情况是否成立，再利用逻辑推演证明其正确性，若能按照这样的思路来处理每一个问题，势必会使学生感觉到近世代数也不是那么难理解.希望教师采用从实例中引出相关概念，然后再由概念举出新的案例的教学方法.具体来讲，就是先举出具体实例，给学生一个直观的理解，然后再介绍相关概念，最后采用正例反例并举的方法，揭示概念的本质.通过以上学者的观点可以看出，实例教学这种教学方式，有助于学生对概念的理解，提高学生学习的兴趣，优化教学效果.本文以近世代数课程中群概念及环与其子环的单位元的讲授处理为例具体阐述这一观点.

一、通过实例逐步阐述群的概念

群是近世代数中的一个最基本的概念，是近世代数的基石.因而正确理解其概念是学好近世代数的关键.郭聿琦、王正攀、刘国新探讨了群概念的一个讲授处理，他们主要给出群与几类相关半群的等价刻画，以及建立群与诸多类型半群之间的联系.这里，我们主要通过具体实例让学生理解由半群到幺半群再到群的过程.下面，我们先引进半群，半群的左幺元、右幺元和幺半群等的概念，再结合实例理清楚它们之间的关系.

定义1令为非空集S上的一个代数运算，记a・b为ab，其中a，b∈S.如果S中的运算满足结合律，即：

（a，b，c∈S）（ab）c=a（bc），

则称S为一半群.

例1在非空集合I上定义一个二元运算：（a，b∈I）ab=a.易证，I构成一个半群，称之为左零半群.对偶地，可定义右零半群Λ.

例2设R为实数域，令M=ab00|a，b∈R，N=ab00|a，b∈R，a≠0，易证M，N关于通常的矩阵的乘法都构成半群.

定义4若半群S满足条件：

（e∈S）（a∈S）ea=a，

则称e为S的一个左幺元.对偶地，可定义半群S的右幺元.若e既是S的左幺元，又是S的右幺元，则称e为S的幺元，称含幺元的半群为幺半群.

一般地，半群可能不含左（右）幺元，也可能含有多个左（右）幺元.例如，左（右）零半群中的每一个元素都是它的右（左）幺元.在例2中，1b00（这里，b为任意实数）是M也是N的左幺元，但M，N都不含右幺元.

自然地，在课堂教学中，我们可以引导学生思考这样的问题：若半群S中既存在左幺元，又存在右幺元，左右幺元相等吗？对于这一问题，我们很容易给出肯定的回答.这是因为，如果e，f分别为半群S的左，右幺元，那么f=ef=e.由此我们得到如下结论：若半群S中既存在左幺元，又存在右幺元，则左幺元和右幺元相等，且它们都是半群的幺元.进一步，若半群含幺元，则幺元唯一.

定义5设e半群S的幺元.如果对任意a∈S，存在b∈S，使得ab=ba=e，则称b为a的逆元，称S为群.

一般地，（幺）半群未必是群.例如，整数集Z关于通常的数的乘法构成一个幺半群，但不是群.那么，什么时候半群会成为一个群呢？下面定理给出了半群为群的几个充分必要条件.

定理6令S为一半群，则下列各款等价：

（1）S为一群.

（2）S中存在左幺元，且S中每一元素关于这一左幺元存在左逆元，即（e∈S）（a∈S）ea=a，且（a∈S）（b∈S）ba=e.

（3）S中存在右幺元，且S中每一元素关于这一右幺元存在右逆元，即（e∈S）（a∈S）ae=a，且（a∈S）（b∈S）ab=e.

（4）对任意a，b∈S，方程ax=b和ya=b在S中有解.

定理6的证明可在文献[7]-[9]中找到，在这里我们略去其证明.根据定理6自然地，在课堂教学中，我们可以引导学生思考如下问题：

①若半群S中有左（右）幺元，且S中每一元素关于这一左（右）幺元存在右（左）逆元，即

（e∈S）（a∈S）ea=a，且（a∈S）（b∈S）ab=e.

或者（e∈S）（a∈S）ae=a，且（a∈S）（b∈S）ba=e.

S是否构成群？

②若半群S满足：对任意a，b∈S，方程ax=b或者ya=b在S中有解.

S能否构成一个群？

上述两个问题的回答都是否定的.这是因为，前面我们已经提到1000是例2中的半群N的左幺元，又易得N中每一元素ab00关于这一左幺元存在右逆元1a000，但N不是幺半群，从而不是群.故问题①的回答是否定的.由于左零半群I满足：对任意a，b∈I，方程ya=b在I中有解b；右零半群Λ满足：对任意a，b∈Λ，方程ax=b在Λ中有解b；故问题②的回答也是否定的.

二、通过实例逐步阐述环与其子环的单位元的关系

众所周知，环中有两个代数运算+（称为加法）和・（称为乘法），环对乘法运算构成一个半群，从而环的乘法幺元（称之为环的单位元）未必存在.但是含单位元的环是普遍存在的，因为根据文献[9]152页例题9可知，任意一个没有单位元的环都可看成一个有单位元的环的子环.在教学中，为了让学生理清环与其子环的单位元的关系，我们可以通过具体实例让学生掌握以下事实.

（一）环R含单位元，而其子环未必含单位元

例如整数环Z有单位元1，而其子环偶数环2Z不含单位元.

（二）环R不含单位元，但其子环可能含单位元

例3设R为实数域，令R=ab00|a，b∈R，S=a000|a∈R，则R关于矩阵的加法与乘法构成环且S是R的子环.易证R不含单位元，但其子环S含单位元1000.

（三）环R含单位元，其子环也含单位元，但环R的单位元与其子环的单位元未必相等

例如，例3中的环S是M2（R）（实数域R上的2阶矩阵环）的子环，它的单位元1000与M2R的单位元1001不相等.

三、结束语

综上可以看出：通过认识实例、运用实例、构造实例来帮助学生理解和掌握抽象的概念和结论，可以提高学生对该课程的学习兴趣，培养学生的逻辑思维、抽象思维能力，使学生掌握基本的代数方法，掌握具体与抽象、一般与特殊的辩证关系，培养学生自主学习的能力以及发现问题的能力，为以后的学习工作打下牢固的基础.

【参考文献】

[1]俞小祥.近世代数教学改革的初步探索与体会[J].淮阴师范学院学报（自然科学版），2014，13（4）：344-345.

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[4]倪岚，蔡吉花.近世代数课程教学改革[J].科教导刊（中旬刊），2015（6）：58-59.

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[8]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978.

[9]韩士安，林磊.近世代数[M].北京：科学出版社，2004.