线性相关性若干问题的分析和研究

摘要：线性相关性是线性代数的重点和难点，该文主要针对线性相关性判定，以及与线性相关性密切联系的线性空间和线性变换的几个重要问题，即向量组极大无关组、秩、基、维数，齐次线性方程组的基础解系，线性空间的子空间的求法，子空间的交与和，线性变换的值域与核等问题进行了深入细致的分析和研究。

关键词：线性相关 线性无关 向量 极大无关组

中图分类号：O1；O151 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（a）-0009-02

线性相关性[1]是线性代数的重点和难点，所涉及的内容包括行列式、矩阵、线性方程组，并为向量组的极大无关组以及向量组的基和维数，齐次线性方程组的基础解系奠定了基础，也是学习高等代数[2]中线性空间、线性变换和欧氏空间的一个重要工具。对于此部分以及相关部分的学习是一个难点，它的抽象性是记忆犹新的，尤其是在学习这些部分的在校大学生也肯定体会到它们的重点和难点[3]，因此我们的确有必要对线性相关性有关的代表性问题进行深入细微的分析及研究。本文所涉及的问题对正在学习和复习这部分读者可能会有帮助，这也正是笔者所期待的。

问题1 向量组线性相关性的判定[4]方法。

对于向量组的线性相关性的判定有以下三种不同的方法：

第一：用定义判定线性相关性：

设有s个数，使取，则上述方程可化为下列方程组：若

若线性方程组（1）有非零解，则向量组线性相关；若线性方程组（1）只有零解，则向量组线性无关；

第二：用矩阵的秩判断线性相关性：

向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是。

第三：用行列式判断线性相关性：

对于n个n维向量：则

行列式线性相关；

行列式线性无关；

注：（1）一般如果向量是具体的向量可以用矩阵的秩来判断最简单，如果含有字母且当含向量个数和维数相同时可用行列式的方法，但有时不是具体向量组，而是向量组与向量组的关系，已知一组向量的线性相关性，来判断另一组向量的线性相关性，则用定义。

（2）这样分三种方法来判断向量组的线性相关性，根据题目的类型来选择方法，对这类问题就迎刃而解了，具体例题可以参照文献[5]。

问题2求解向量组极大无关组、秩、基、维数。

对于向量组的极大无关组、基、向量组的秩之间的关系对于很多读者来说是一个容易混淆的，分不清楚它们的联系，也是与线性相关性紧密结合的几个概念，所以有必要在这里提出。实际上对于向量组的极大无关组、基实质是一样的。向量组的极大无关组与线性相关性的关系就是向量组中找到个向量线性无关而向量线性相关，则个向量就是向量组的极大无关组，极大无关组可以作为向量空间或线性空间的基，就是向量组的秩也是向量空间或线性空间的维数。

例1 求的一个基，使其包含向量。

分析：从上面指出的基和极大无关组的关系可知，实际上是找的一个极大无关组即可，所以只需在中另外找两个向量（一般找单位向量）只要线性无关即可。

解：令矩阵

构成的一个基。

注：对于不是求解向量空间而是其它线性空间的基是较难的题型，实际上处理方式是找出线性空间的元与向量组之间的关系后在找极大无关组或基。例如证明是的一个基。实际可以转换为向量组的关系即是向量组

是否线性无关的问题，这样使得类似的题目变得更简捷。

问题3 线性相关性与线性方程组的基础解系的关系。

线性方程组与线性相关性是水融的关系，根据线性相关性的判断知道齐次线性方程组（1）有无非零解可判断线性相关性，反过来求解齐次线性方程组的基础解系实际上是求齐次线性方程组的所有解的一组基，或一个极大无关组。关于求解齐次线性方程组的方法有两种，第一是消元法，第二是取特殊向量代入求解法。具体例子各家高等代数或线性代数教科书及相关资料均有所举例，故而我们不再举例。

问题4 线性相关性与求解生成子空间。

向量空间或线性空间的生成子空间对于读者是一个很抽象的问题，怎样求解生成子空间呢？实际上若是向量空间的生成子空间则与求向量组的极大无关组，因此求解生成子空间与线性相关性也是紧密结合的。对于不是向量空间的向量，而是矩阵、多项式作为元素的或其它的线性空间可以转化为向量空间来求。具体可参看下面的例子：

例2 在中，求向量

生成的子空间的基与维数。

解：根据上面的分析可以得到向量组的任一极大无关组都是由它生成的子空间的基，而向量组的秩即为子空间的维数。

所以子空间的基为维数为3。

注：求生成子空间可以通过求解极大无关组，这是把抽象的问题具体化的一个体现，这样使得这类问题容易解决。

问题5 线性相关性与子空间的交与和。

子空间的交与和是子空间的两种运算，这部分内容也是十分抽象的，对于子空间的交与和怎样来求解也是十分困难的。这里介绍一种方法让读者把抽象问题具体化。先介绍向量空间的子空间的交与和，对于一般的线性空间可以转化为向量组来解决，具体方法如下：

假设两个子空间，下求它们的交与和。

因为，由子空间的求法，可知和实际上是求的极大无关组。即可求出的基和维数。

对于可根据维数公式[2]得到交的维数之后，在根据基的定义，便可以求出交。

注：此方法使得求解子空间的交与和变得具体化，从而使得问题迎刃而解。具体通过求解极大无关组，所以与线性相关性紧密结合的。对于子空间的交与和，还可以先根据交的定义构造一个齐次方程组，求出齐次方程组的基础解系就知道交的基和维数，然后通过求交在通过维数公式求和，此方法相对来说复杂一些，在这里就不在说明。

问题6 线性相关性与线性变换的值域与核的关系。

线性变换的值域与核与线性相关性也有着紧密的联系，是向量组的极大无关组和齐次线性方程组的基础解系求解的。具体求法可以通过下面的例子来说明：

例3设线性变换在三维线性空间V的一组基下的矩阵是，

求的值域和核。

解：值域，且的维数等于A的秩，又因为，所以求实际可以转化为求A的列向量的极大无关组即可。

知A的列向量的极大无关组，因此的基为，所以值域。下求核：

设，它在基的坐标是，则在基的坐标是由，即有，即为下齐次线性方程

求解上面齐次方程的基础解系为：.令，则是的一组基，所以。

注：线性变换的值域和核是抽象的概念，对于一般的线性空间可以转化为向量空间求解，可根据例题的步骤来求解，这对广大读者的记忆和理解应该来说是很有帮助的。

以上几个问题是关于线性相关性密切联系的问题，而线性相关性是线性代数理论以及高等代数的重要基础。特别是关于线性空间和线性变换问题，在理解和求解过程首先要懂得转化为已有的向量空间有关线性相关性知识，把抽象问题具体化，从而使得问题简捷而明快。

参考文献

[1] Lee W.Johnson，R.Dean Riess，Jimmy T.Rrnold Introduction to Linear Algebra[M].China Machine Press，2002：112-115.

[2] 施武杰，戴桂生.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2005：64-69.

[3] 刘学鹏.线性代数理论中两个典型命题的正误推论研究[J].高等数学研究，2008（6）：16-18.

[4] 陈雪梅.学生怎样理解向量的线性相关性[J].数学教育学报，2010（6）：63-67.

[5] 毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳[M].2版.武汉：华中理工大学出版社，2003：62-67.