直角三角形中折痕长度的计算

三边长分别是3、4、5的三角形,我们十分熟悉. 把这个简单的三角形进行折叠,做一做就会发现许多有趣的结论.下面就结合三角形的相似与勾股定理、直角三角形的面积等探究折叠这个最简单的直角三角形,计算折痕长度的问题,供参考．

1 经过短直角边上的某一等分点(距离斜边端点较近)计算折痕长度.

例1 如图1 ,已知ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.D 是BC 的三等分点,且D距离B点较近,沿着过点D的直线折叠图形,使得点C 折叠后落在斜边AB上,计算折痕DE 的长度．

分析 这个问题看起来比较简单,猜想折痕的两个端点与点C构造的三角形与原三角形相似,构造比例式求解,不妨试一试：

假设CDE∽ABC,显然CD与AC是对应边,由于AB=32+42=5,则有CDAC=DEAB,DE=CD•ABAC=2×54=52,下面对上面的解法的结果进行分析、验证．

当DE=52时,由于CD=2,∠ACB=90°,因此计算得出：CE=32,如图2 ,连接CF交DE于点O,由于点CF关于DE轴对称,所以DE是线段CF的垂直平分线,计算OC=CE•CDDE=65,所以CF=2OC=125.作CHAB于H,计算得出CH=AC•BCAB=125.因此CF=CH,所以点F与点H 重合.显然当CFAB时,DE∥AB,则有：CDBC=CEAC=DEAB,即是23=CEAC=DEAB，此时,CE=23AC=83,DE=23AB=103,所以把点C沿DE折叠后，显然对称点应当落在线段AB下方（不在边AB上）.所以上面猜想CDE∽ABC,是不能成立的．

那么应当如何计算折痕长度呢？我们还是从勾股定理以及三角形相似进行分析解答：

解 如图3 ,作CHAB于H,DMAB于M,连接CF交DE于点O,由于12AB•CH=12AC•BC,所以：CH=AC•BCAB=125,点D 是线段BC的三等分点,BDM∽BCH,所以DMCH=BDBC=BMBH,所以DM=45．

由于∠DMB=90°,BM=BD2-DM2=35,ACH∽ABC,AHAC=ACAB,计算得出：AH=165,BCH∽ABC,BHBC=BCAB,计算得出：BH=95,FM=DF2-DM2=2215.由于HM=BH－BM=95－35=65,所以FH=FM－HM=221-65,CF2=FH2+CH2=(221-65)2+(125)2=4×(66-621)25．

由于66-621=(63)2-2×63×3+(3)2=(37-3)2．

计算得出：CF=2(37-3)5=67-235,所以OC=12CF=37-35．

由于CD=2,∠COD=90°,所以OD2=CD2-OC2=22-(37-35)2=34+62125．

由于34+621=(27)2+2×27×7+(7)2=(27+7)2=(33+7)2,

所以得出：OD=33+75.由于DOC∽DCE,所以ODCD=CDDE. 则有DE=CD2OD=2033+7=20(33-7)(33+7)(33-7)=33-7. 所以DE=33-7.由于∠DCE=90°,所以CE2=DE2-DC2=(33-7)2-22=30-621,由于30-621=(21)2-2×21×9+(9)2=(21-9)2=(21-3)2,所以得出CE=21-3. 因此CDE的面积是：12CD•CE=21-3,由于CDE≌FDE,所以四边形CDFE的面积是：2×(21-3)=221-6．

下面再运用12DE•OC+12DE•OF=12DE•(OC+OF)=12DE•CF计算四边形CDFE的面积：12DE•CF=12×(33-7)×67-235=(37-3)(33-7)5=1021-305=221-6.经过上面的验证,可以发现两种方法计算得出的结果一致.

则有OC=OF,且DECF,点C沿着DE折叠,点C对应点恰落在斜边AB上．

评注 看似简单的问题,蕴含着一定的奥秘,不能被简单的表象迷住双眼；看似复杂的问题,往往也有突破口,这一问题其实看似简单,实际并不简单.过三等分点引斜边垂线,运用三角形的相似以及勾股定理,正是解答此题的突破口.在解答线段长度时,运用了完全平方公式,把一个含有二次根号的数字转变成一个完全平方的形式,注意体会以及运用．

改变问题的条件：过较长直角边AC的四等分点,折叠图形,使得直角顶点落在斜边上,如果这个分点恰是中点,折痕长度是斜边一半,当分点距离斜边端点A较近时,也可以参考上面的方法计算折痕长度：

2 经过较长直角边上的某一等分点(距离斜边端点较近)计算折痕长度

例2 如图4 ,已知ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.E 是AC的四等分点,且E距离A点较近,沿着过点E的直线DE折叠图形(交BC于点E),使得点C折叠后落在斜边AB上,计算折痕DE 的长度．

解析 按照例1的方法,如图5 ,作CHAB于H,EMAB于M,连接CF交DE于点O,计算得出：AH=165,BH=95,EM=35,AM=45．

MH=125,EF=3,MF=32-(35)2=665,所以HF=MF－MH=66-125.CF2=CH2+HF2=(125)2+(66-125)2=36(14-46)25．

由于14-46=12-224+2=(12)2-2×12×2+(2)2=(12-2)2．

所以CF=6(23-2)5,由于OC=OF,DECF,所以OC=3(23-2)5,所以OE2=CE2-OC2=32-3(23-2)52=9(11+46)25,

由于11+46=8+224+3=(8)2+2×8×3+(3)2=(8+3)2=(22+3)2,所以OE=3(22+3)5.

由于OECE=CEDE,所以DE=CE2OE=9×53(22+3)=1522+3=15(22-3)(22+3)(22-3)=3(22-3)=62-33．

由于CD2=DE2-CE2=(62-33)2-32=32×(11-46-1)=32×(10-46),10-46=10-224=(6)2-2×6×4+(4)2=(6-2)2,所以CD=3(6-2)=36-6．

下面计算CDE的面积是：

12CD•CE= 12(36-6)×3=3(36-6)2．

由于CDE≌FDE,所以四边形CDFE的面积是：2×3(36-6)2=3(36-6)=96-18．

下面再运用12DE•OC+12DE•OF=12DE•(OC+OF)=12DE•CF计算四边形CDFE的面积：12DE•CF=12×(62-33)×6(23-2)5=9(22-3)(23-2)5=9(56-10)5=96-18. 经过上面的验证,可以发现两种方法计算得出的结果一致.

则有：OC=OF,且DECF,点C沿着DE折叠,点C对应点恰落在斜边AB上．

3 经过斜边上的某一等分点计算折痕长度

例3 如图6,已知ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4.D 是AB 的五等分点,且D距离A点较近,沿着过点D的直线DE折叠图形(交BC于点E),使得点B折叠后对应点F落在边AC(或者是延长线上),计算折痕DE 的长度．

解析 如图7 ,连接CD,作CHAB于H,计算得出：AH=165,BH=95,所以DH=AH－AD=65,CD2=DH2+CH2= (65)2+(125)2,CD=655,由于CDDF=CDBD=655×3=255＜1,所以点F落在AC的延长线上．

如图8 所示,作DNAC于N,连接EF,计算得出：DN=65,CN=125,所以NF=32-(65)2=3215,所以CF=3215－125=321-125,BF2=BC2+CF2=32+(321-125)2=9(62-821)25．

由于62-821=56-256×6+6=(56-6)2=(214-6)2,所以BF=3(214-6)5,由于OF=OB=12BF,所以OB=3(214-6)10．

OD2=BD2-OB2=32-3(214-6)102

=9(38+821)100．

由于38+821=24+224×14+14=(24+14)2,所以OD=3(26+14)10,由于BOE∽BCF,所以：OECF=OBBC.OE=OB•CFBC=3(214-6)10×321-125×13=3(186-1114)50．

所以折痕DE长度是：

DE=OD－OE

=3(26+14)10－3(186-1114)50

=2414-12625．

评注 此类问题千变万化,改变直角三角形的直角边与斜边长,取某一边的不同分点(注：在直角边上的分点是边的中点或者是该等分点距离斜边的端点较近,在斜边上的分点例外.),计算折痕长度,会得出不同的结论,但是解答此类问题,总可以参考上面例题的方法解答. 下面对此类方法做一归纳,赋歌诀一首如下：

折叠图形点对点,折痕即是中垂线；

折痕端点构直角,平方关系即出现.

直边、高线面积法,图形相似计线段；

化简数式巧配方,数字拆分有空间;

整数和积交叉项,三项相符是关键.

分母根式找“共轭”(有理化因式),灵活运用繁作简；

思路正误需辨析,综合运用呈亮点.