直角三角形在特殊四边形中的应用

分析近几年中考的综合能力题，图形的变换已成为常见的考点，基于此在平常的教学中应在不离开课本要求，不离开课标要求的前题下，引导学生一题多解，以多个方向寻找解决问题的途径。下面以直角三角形特殊四边形的应用为例。希望对同学们有所帮助：

例1、如图E是矩形纸片ABCD中AD上的一点，以CE为折痕将CDE翻折，点D落在AB边的点F上，则原矩形被分为四个直角三角形。图中四个直角三角形不随点E不同位置影响：①一定相似的三角形是 与 ；② 一定全导的三角形是 与 ；③ 如果这个特殊的矩形翻折后，AEF ∽ FEC（既四个都相似）；则AD：AB的值应是多少。

分析若AEF∽FEC则 ∠1﹦∠2﹦∠3﹦∠4﹦30° 设AE﹦ⅹ

则EF﹦2ⅹDE﹦2ⅹ AD﹦3ⅹ CD﹦2√3ⅹ=ABAD﹕AB﹦3ⅹ﹕2√3ⅹ﹦√3：2

将图中CDE剪去、问题演变为：

例2：如图AD//BC∠B﹦90°将三角尺的直角顶点放在AB 的中点0、并绕着点O旋转三角尺，其两直角边分别与射线AD、BC交于点E、F 连接EF⑴如果AB﹦8设AE﹦ⅹ BF﹦Y 求Y与ⅹ的出数关系式；⑵若分别以E 、F为圆心，以EA，FB为半径画OE、OF求 OE 与 OF的位置关系。

分析：对于问题②研究 OE 与 OF 的位置关系。关键在两圆半径AE.BF与连心线EF的数量关系，显然这是直角梯形中上、下底边长与斜腰长之间的关系（提示：取EF中点P连接OP，易证RtEOF中EF=20P。在梯形ABFE中AE+BF=2OP EF=AE+BF即两圆外切）

例3 如图已知在正方形ABCD中边长为1。点P在BC边上移动，E是BC延长线上的点，联结AP与 P点作PFAP变∠DCE平分线于点F连接AF.证明AP﹦PF

证明一：一般通过三角形的全导来证明是同学们的首选但这有一定的难度，需要不断探索.构选与PCF全导的三角形。（提示：在AB边上截取BQ﹦BP.连接PQ 易证∠1﹦∠2 AQ﹦1—BQ﹦1—BP﹦PC ∠AQP﹦135°﹦∠PCF从而APQ≌PFE AP﹦PF）

证明二：可以肯定地讲，有很多同学过点F作FHBE垂直为H，易证∠1﹦∠2 ∠B﹦∠PHF﹦90°但要证AB﹦PH或 BP﹦FH都不容易。那么这不就证明思想是不好不行呢？否则是否定。

例1时我们讲ABP∽PHF。

设BP﹦ⅹ FH﹦Y﹦CH 则PC﹦1— ⅹ PH=1—ⅹty 于是有 Y﹦ⅹ—ⅹ﹢ⅹY可化为（ⅹ—Y）（1—ⅹ）=0ⅹ≠1 ⅹ=Y即BP=FH ABP≌PHF从而得到AP=PF

小结：构造法一的三角形一般较难想到，法二的三角形较直观，但法二的证明反而难了一些，如果能结合相似通过计算推导线段相导其有蓦然回首，灯火阑珊处之境。

意犹未尽的同学想一想还有没有别的办法呢？

证明三：连接AC 正方形ABCD中∠ACD﹦45。 CF平分∠DCE ∠DCF﹦∠ECF﹦45°∠ACF﹦∠ACD﹢∠DCF﹦90°

∠APE﹦∠ACF﹦90°

点A P C F 四点在以A F为直径的圆上 外角∠FCE﹦45°﹦∠PAF ∠PAF﹦45°=∠PFA PA=PF

怎样！是不是感受到这个方法更佬，有余韵绕梁之美

练习：在矩形ABCD中，点P在AD上，AB﹦2 AP﹦1将直角尺的直角顶点放在点P上 直角尺两边分别交AB、BC于点E.F ，连接EF如图（1）

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②）求PC的长②探究 将直角尺从图②的位置开始，绕点P顺时针方向旋转，当点E与点A重合时停止。在这个过程中请你观察猜想并解答。

（a）fam∠PEF的值是否发生变化，请说明理由

（b）直接写出从开始到停止线段EF的中点经过的路线的长

提示：（1）图②中ABP∽DPC 又RtABP中AP﹦1 AB﹦2 BP﹦√5而矩形ABCD中DC﹦AB﹦2 PC﹦2√5

如图②（a）fam∠PEF的值不变，理由：过点F作FGAD，G为重点如图①由PAE∽FGP而PA﹦1 FG﹦AB﹦2即tam∠PEF=2不变（b）可以看出开始时EF中点0，停止时EF即AF中点为0，显然0为BC中点，也是BP中点0，0 =PC=√5

上面围绕直角三角形的特殊四边形中的应用进行举例说明，同学们有何收获与感受。从中又体会到哪些数学思想与引导？我希望同学们在复习，梳理知识时能发现其内在联系，在学习方法中能融会贯通。举一返三，在运用知识时能分析转化，不断改变问题的条件、结论，改变图形，实现转化，拓展提高综合能力。