直角三角形旋转“破解”正方形

正方形与直角三角形有不可割舍的关系，如何将一个正方形轻松地建立起与直角三角形的联系呢？我们尝试从旋转的视角用直角三角形来看正方形，这样会给正方形带来一种清新的感觉.为了更好地说明得出这一思路的来龙去脉，笔者就以视角导入、形成、应用三方面展开，利于读者体会如何去发现问题，得出结论，从而提高解决问题的能力.

1视角导入

（1）如图11，点E、F、G、H分别是正方形DA、AB、BC、CD上的点，且AE=DH=CG=BF.那么四边形EFGH是正方形.

（2）如图12，点E、F、G、H分别是正方形DA、AB、BC、CD上的点且AE=DH=CG=BF，依次连接AG、BH、CE、DF，它们的交点分别是A′、B′、C′、D′.那么四边形A′B′C′D′是正方形.

图11图12我们利用正方形及全等的知识可以说明上面两个问题中四个直角三角形全等，从而得出结论的正确性.

现在换一角度，也就是将正方形看作是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.

如图11，正方形ABCD可以看作是由RtAFE、RtDEH、RtCHG、RtBGF和正方形EFGH组成.

如图12，正方形ABCD可以看作是由RtDAA′、RtABB′、RtBCC′、RtCDD′和正方形A′B′C′D′组成.

2视角形成

受上面问题结论的启示，我们进行如下操作：

（1）将以正方形的边长为斜边在正方形内部的RtABC绕中心O依次旋转90°，即可得到以两直角边BC、AC之差为边长的正方形（如图21）.

（2）将以正方形的边长为斜边在正方形外部的RtABC绕中心O依次旋转90°，即可得到以两直角边BC、AC之和为边长的正方形（如图22）.

图21图22我们形成了通过旋转直角三角形得正方形的思路后，再进行如下的思考：

以正方形ABEF的边AB为斜边作两个全等的直角三角形，也就是说四边形是ABCD是矩形，依上面的思路将矩形绕中心依次旋转90°（如图31）.我们就在同一图形中得到以RtABC的两直角边之和、斜边、两直角边之差为边长的三个正方形，这就使我们联想到了“赵爽弦图”.也就是说，利用这种方式轻松地将正方形ABEF分割成以AC，BC为边长的两个正方形FD2GC3和正方形BCGD1（如图32）.反过来，用同样的方法也可以将两个正方形剪拼成一个大的正方形.

图31图32通过上面思路，我们可将正方形联想为四个直角三角形及一大一小两个正方形，这样正方形的信息就丰富了.这种想法可以方便我们解决一些与正方形有关的题目.

3视角应用

（1）以直角BCA的斜边BC为一边在BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=62，那么AC的长等于.

分析：在正方形内部作出另三个直角三角形如图4，可得CD=AB=4，AD=2AO=12，所以AC=16.

（2）以直角BCA的斜边BC为一边在BCA的异侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AC=16，那么AO的长等于 .

分析：在正方形外部作出另三个直角三角形如图5，可得AD=AC+CD=20.因为AD=2AO，所以AO=102

图4图5图6（3）如图6，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中C、D、E在AB上，F、N在半圆上，若AB=10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是

A. 25 B. 50 C. 30-π D. 50-2π

分析：利用“赵爽弦图”将正方形CDMN和DEFG分割组合成一个大正方形.我们发现大正方形的边长恰好是半圆O的半径.可以得到正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（AB12）2=25.

作者简介张振中，男，1973年11月出生.中学一级教师.主要从事初中数学教学工作，对中考题的研究，有若干文章发表.