一元二次方程变形后在解题中应用

有些题目中的条件是含(或可以化为)一元二次方程,往往不是去解这个一元二次方程,而是把方程适当变形后进行整体代换,从而使问题易于获得解决,它的优点是：省时、省事、思路清晰、目标明确.请看如下几例：

1 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的整体作为零值进行代换

1.1 求式变形后,直接代换

例1 已知方程x2-x-5=0,不解方程,求：x3-2x2-4x+5的值.

分析 把求式中每三项进行分组,指数由高到低,系数之比为：1∶(-1)∶(-5),然后整体代换.

解 因为x2-x-5=0,所以原式=x3-x2-5x-x2+x+5=x(x2-x-5)-(x2-x-5)=0.

1.2 把条件化归为一元二次方程后整体代换求式

例2 已知：x=3-2,求x3＋6x2+9x+3的值.

分析 若将已知条件直接代入求式,显然计算过程太繁,我们又试着把已知条件化归为一元二次方程形式,然后整体代入.

解 因为x=3-2,所以x+2=3两边平方整理,得：x2+4x+1=0. 所以原式=x3+4x2+x+2x2+8x+2+1=x(x2+4x+1)+2(x2+4x+1)+1=1.

2 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)变形为：ax2=-bx-c,整体代换后使x升幂或降幂

2.1 整体代换后逐步提高求式中较低项指数

例3 已知方程：x2-x-5=0,不解方程,求x3-2x2-4x+5的值.

分析 由：x2-x-5=0移项得：x2=x+5,这样将x2代换x+5,使求式中较低项指数逐步提高,从而使问题得到解决.

解 因为x2-x-5=0,所以x2=x+5,所以原式=x3-2x2-5x+(x+5)=x3-2x2-5x+x2=x3-x2-5x=x3-x(x+5)=x3-x•x2=0.

2.2 整体代换后降低求式指数

例4 已知方程：x2+x-1=0,不解方程,求x3+2x2+3的值.

分析 由x2+x-1=0移项,得x2=1-x,这样将1-x代换x2,使求式指数逐步降低,从而使问题得到解决.

解 因为x2+x-1=0,所以x2=1-x.所以,原式=x•x2+2x2+3=x(1-x)+2(1-x)+3=-x2-x+5=-(1-x)-x+5=4.

3 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)变形为：ax2+bx=-c整体代换,解题

3.1 以数代换含字母整式后逐步化简

例5 已知方程x2+x-5=0,不解方程,求x3-6x+4的值.

分析 由x2+x-5=0移项,得x2+x=5,可用5来代换(x2+x),逐步化简,使问题得到解决.

解 因为x2+x-5=0,所以x2+x=5,所以原式=x3+x2-x2-x-5x+4=x(x2+x)-(x2+x)-5x+4=x•5-5-5x+4=-1.

3.2 用含字母整式代换数逐步化简

例6 已知方程2x2-3x-9=0,不解方程,求2x-9x的值.

分析 由2x2-3x-9=0移项,得2x2-3x=9,可用2x2-3x代换9.

解 原式＝2x-2x2-3xx=2x-2x+3=3.

4 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)变形为：ax+cx=-b,整体代换解题.

例7 已知方程x2-3x+1=0,不解方程,求x2+x+1x的值.

分析 因为x2+x+1x=x+1+1x,所以将已知式x2-3x+1=0变形为x+1x=3,使问题得解.

解 因为x2-3x+1=0,因为x≠0,两边同除以x,得x-3+1x=0,即x+1x=3,所以原式=x+1+1x=3+1=4.

5 把方程ax2+bx+c=0(a≠0)变形为如下几种情况：ax2=-bx-c;ax2+c=-bx;ax+cx=-b,进行综合解题

例8 已知方程x2+3x+1=0,不解方程,求x3+3x2+3x2+1的值.

解析 由x2+3x+1=0变形,得如下几种情况：x2+3x=-1,x2+1=-3x,x+1x=-3,所以原式＝x(x2+3x)+3x2+1=x•(-1)+3-3x=-x-1x=-(x+1x)=-(-3)=3.