曲线组合论文：曲线组合的柔顺机构设计透析

作者：王念峰 张宪民 单位：华南理工大学精密装备与制造技术广东省重点实验室

在比较柔顺机构几何表述方式的基础上,本文提出了一种全新的基于对线组的几何表述方式.基于对线组的几何表述方式,首先确定结构的输入输出区域,将这些输入输出点利用成对Bezier曲线直接或间接连接起来形成一种可以承载负荷的柔顺机构.这种显式几何表述方式可以同时进行形状和拓扑优化并且保持结构边界的光滑,没有棋盘格现象和中间密度单元等,同时解决了柔顺机构拓扑优化设计中的锯齿和模糊边界问题.表述方式基于对线组的几何表述方式首先确定结构的输入输出区域(输入输出区域可以作为优化对象进行优化).虽然在初始阶段不知道结构在设计域的分布,但是载荷加载需要借助结构输入输出域,因此必须有至少一个加载域,一个支撑域和一个输出域.将这些输入输出区域直接或间接连接起来形成一种可以承载负荷的机构.图1(a)所示的是设计空间以及输入输出域.如图1(b)所示选取输入输出域里的一些点作为输入输出点,选取设计空间里的一些点作为控制点.本文选用的对线组数为2,kC其中k为输入输出域的个数,使每两个输入输出域直接相连,在本示意图中k为3,也就是初始对线组数为3,需要6组控制点.把这些输入输出点用Bezier曲线连接起来.选择Bezier曲线的主要原因有二;一是Bezier曲线可以用比较少的设计参数来表述柔顺元件的复杂形状.移动内控制节点,可调节设计域内Bezier曲线的形状,形状变化比较平缓.二是Bezier曲线完全落在控制多边形的凸包内,是要把曲线控制在设计域内的关键点.Bezier曲线上任意点的位置向量r由下式决定:（式略）(1)式中,u为在[0,1]区间内变动的内参数,n1为内部控制点的个数(起点和终点之间).r0为起点位置向量,rn为终点位置向量,rk(k＝1,2,…,n1)为内部控制点位置向量.曲线假定按等长分成n段.例如,在示意图中有3个内部控制点,则曲线按等长分为4段,4段中的第1段对应0u1/4,第二段对应1/4u1/2,第3段对应1/2u3/4,第四段对应3/4u1.一对曲线为两条起点和终点都在同一输入输出区域的曲线对,可以定义两输入输出区域间柔顺机构的材料分布情况.Bezier曲线1和2,3和4,5和6组成3个对线组,形成最后如图1(c)所示的结构.于FG-FEM有元法的模型基于对线组进行柔顺机构几何表征,会产生一些复杂的结构,需独立开发有限元分析程序进行仿真分析,本文采用采用如图2所示的FG-FEM[28]模型.应用线性有限元分析技术解决拓扑问题只能限制在小变形范围内,当柔顺机构产生较大弹性变形时,采用线性有限元分析技术不能给出良好的设计结果,因此本文利用几何非线性有限元技术对柔顺机构进行拓扑优化设计.针对非线性有限元方程的求解问题,建立增量形式的平衡方程,采用TotalLagrange增量方法和Newton-Raphson载荷增量求解技术获得机构响应.采用正方形单元对如图1(a)所示设计空间进行结构分析前的有限元网格划分,将该空间模型划分50×50个单元,从而得到图2所示的网格划分图.图1(c)所示的机构被有限元分割后,会产生3种类型的单元,空单元,实体单元,和边界单元如图2中局部放大图所示.单元刚度阵可表示为（式略）(2)式中,A1为实体材料在单元中所占面积,Aele为单元面积,将有限单元细分成更小的单元,每一成对曲线包含区域也由足够多的点来表示,如果有点落在细分网格里,则为实体细分单元,利用细分网格计算材料所占每一有限单元的面积A1/Aele,E1为材料的弹性模量,E0为无材料处的弹性模量.E0相对于E1取较小的数值.一般含有约束多目标优化问题定义为（式略）式中,f是的目标向量,x=[x1x2…xt]是t维设计变量,在本文中为控制点和输入/输出点的坐标,gj表示不等式约束,hk为等式约束.某种意义上说,拓扑是“定性”的,几何结构中的拓扑变化是不连续的变化;因此,本质上是离散优化算法的遗传算法能够有效地解决拓扑优化问题.与传统的优化方法对单个的结果进行搜索/迭代不同的是,遗传算法是对群体进行搜索迭代.这预示着在程序的一次运行中有更高的机会获得全局最优解[29],同时,这也使得它更适合多目标优化问题.本文中所使用的多目标遗传算法是建立在文献[30]中的方法的基础之上,该文献中所提到的方法采用无支配性排序策略解决约束问题.使用遗传算法,设计变量需要编码成某种数据结构形式的染色体,对应图1(c)所示的结构,染色体编码如图3所示.这个编码是图的一种形式,在这个图的节点处包含了这些设计变量,即输入/输出点和控制点的单元号码.这些节点的连接描绘了Bezier曲线的联系性.可以看出,每一条曲线是由曲线控制点和首尾的输入/输出点来定义的.遗传操作主要由交叉算子和变异算子组成.遗传算法在实现交叉操作过程中,是通过从一个染色体父本随机的分割任何连接因子与另一染色体父本上相应的因子进行交换,给出了一个例子.对于变异,突变算子是随机选择染色体图中的任意节点并将它的值随机的改变为允许范围内的其他值.

本文以柔顺反相器为例检验基于对线组几何表述方式的实用性.设计域如图5所示.设计空间为100mm×100mm.用几何增益和机械增益作为优化的目标.选用聚丙烯(PolyPropylene)材料,弹性模量为900MPa,泊松比为0.40,屈服强度为33MPa.柔顺反相器优化问题定义为（式略）柔顺机构要有足够的柔性和刚性,本文采用几何增益表征柔性,机械增益表征刚性.式中GA为几何增益,定义为输出输入位移比uout/uin;MA为机械增益,定义为输出力和输入点反作用力之比Fout/Fin;体积约束比为0.4;在一个柔顺机构中的约束应力峰值(机构疲劳或破裂的临界值)十分重要,本文在应力不等式约束函数中运用了无量纲的表达方法:（式略）其中,peak-von-Mises为压应力峰值,y为材料的拉伸屈服强度.为便于结果之间的比较,固定值为2mm的输入位移加载于输入点,输出点作用一单位力.遗传进化迭代次数为500,种群规模为100,最终目标函数(有限元分析)被评估的总次数为45354.反相器的结构对称,仅用上半部分表征即可.500次迭代后的三个非劣解及其目标函数值为最优几何增益解,图6(b)所示的是最优机械增益解,图6(c)给出一中间解,其机械增益比图6(a)好,几何增益比图6(b)好.图6(a)所示的最优几何增益解在第472次迭代中得到,当输入位移为2mm时,输出反向位移为2.76mm,几何增益为1.38;需要的输入力为35.78N,机械效益为0.03;峰值应力为32.6MPa,应力约束值为0.012;材料体积比为0.158,体积所约束值为0.242.图6(b)所示的最佳机械效益解在第447次迭代中得到,输出反向位移为0.3mm,几何增益为0.15;需要的输入力为5.88N,机械增益为0.17;峰值应力为23.6MPa,应力约束值为0.40;材料体积比为0.10,体积所约束值为0.30.现将本法所得结果与另一些方法如均匀化方法[9],水平集法[13]以及特征刚度法[31]的优化结果进行比较.现目前为止,由于建模方法,材料选取,参数调节以及设计本身的复杂性,还没有一个广被认可的结果,但利用拓扑优化理论对柔顺机构进行设计时,产生的拓扑结构近似.有关柔顺机构拓扑优化设计的研究表明,在建模时,通常假定输出点力位移关系固定,为了计算上的方便,做线性假设,也就是经典的弹簧模型.经验证明,没有弹簧模型,通常输入输出之间会断开,很难设计一个有效的柔顺机构.不同参数的弹簧模型也将很大程度上影响最后的结果,但是目前为止,弹簧模型在柔顺机构拓扑优化中依然是应用最广的模型,因为所得的设计结果有意义,并且方便控制输入输出关系.基于本文提出的几何表述方式进行柔顺机构拓扑优化设计将不依赖于弹簧模型,通过图7中的结果对比可知,拓扑结果类似,并且本文得到最优的几何效益值.为了对本文提出的表述方式更好的阐述,图8给出了生成图6所示的3种柔顺反相器的所对应的Bezier曲线组合.图9给出了目标空间中一些迭4EE3的非劣解前端(第20,第100和第500代).进一步分析第500次迭代的非劣解前端,可以分为三组,其中一组(非劣解前端左部)的拓扑对应图6(a)拓扑,一组(非劣解前端右部)对应图6(b)拓扑,一组(非劣解前端中部)对应图6(c)拓扑.每组拓扑中有多个解,他们之间的区别主要在于形状.从侧面证明了基于本文提出的几何表述方式,形状和拓扑优化可以同时进行并且保持结构边界的光滑,没有棋盘格现象和中间密度单元等.图10和11显示了优化迭代过程中目标函数几何增益GA和机械增益MA的迭代收敛过程.图10给械增益值.图11给出了各次迭代中最优机械增益解随迭代次数的变化趋势,同时给出了对应最优机械增益解的几何增益值.图中可以看出从第7次迭代才出现满足约束条件的可行解,目标值随迭代次数的增加而逐步减少.

针对本文提出的基于对线组的几何表述方式,采用本质上是离散优化算法的遗传算法有效地解决了基于对线组的柔顺机构拓扑优化问题,设计变量编码成图的一种形式,在图的节点处包含了设计变量,即输入/输出点和控制点的单元号码.基于对线组的柔顺机构表述方式,消除了柔顺机构设计建模中对弹簧模型的依赖.通过柔顺反相器算例验证了基于对线组的柔顺机构表征方式的适用性.从结果可以看出,得到的拓扑结构和用经典均匀化方法,水平集法以及特征刚度法得到的拓扑结构近似,并且具有更好的几何增益值.