谈通过构造几何图形解题

高中数学内容多，知识面广，特别是实行新课程教材后，高中教学不仅要全面推行素质教育，注重学生能力的培养，而且要参加高考。高考对知识的深度和难度有一定要求，而新教材的一个重要特点是与高等数学的知识接轨，对学生的创新和想象能力有所挑战。这里笔者谈谈如何运用构造几何图形来解题。

例1：一个四面体共用一个顶点的三条棱两两垂直，其长分别为1，■，3，且四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。

解析：四面体ABCD，A点出发的三条棱AB、AC、AD两两垂直，求其外接球的表面积，需求外接球的半径，就要找球心O，直接做难度很大。我们要抓住A点出发的三条棱AB、AC、AD两两垂直，可以把这个四面体放在一个长方体中，所以可以构造一个长方体ABED－CFGH,那么，四面体ABCD的外接球即构造的长方体的外接球，所以这个外接球的直径为长方体的体对角线，设半径为R，2R=AG，AG2=1+6+9=16,所以这个球的表面积S＝4пR2=16п。

例2：设正四面体ABCD棱长为■，求外接球的体积。

解析：求正四面体外接球的体积，需求外接球的半径，球心在正四面体的高线上，可以通过计算得到，但较麻烦，速度慢。我们可以通过构造一个正方体来解决，如上图2（2），在正方体中，连接A、B、C、D四个顶点，根据正方体的面对角线都相等，得到ABCD正四面体，ABCD正四面体和构造的正方体有共同的外接球，只需求正方体外接球的体积。由正四面体的棱长为■，可知构造的正方体的棱长为1，那么正方体的体对角线为■，设外接球的半径为R,2R=■,R=■,所以V=■пR3=■п。

例3：设f（x）=■a,b∈R，且a≠b。求证：|f（a）-f（b）|

分析：从形式上看，此题属于代数中的函数问题，可以用导数和斜率知识来解决。这里我们用构造图形来解。a≠b，不妨设a>b，f（a）=■,f（b）=■,如图3构造三角形：构造如图的RtOAP，其中OP=1,OA=a,OB=b,显然，PA=■=f（a）,PB=■=f（b）,AB=a-b，在PAB中，有|PA-PB|

例4：如图4（1），在三棱锥P-ABC中，若PA=BC=2■,PB=AC=10,PC=AB=2■，求三棱锥P-ABC的体积。

解析：直接去算难度比较大，但换个角度，若仔细观察已知条件，注意到三棱锥的三组对边两两相等，我们就可以通过整体补形构造图形，将P-ABC三棱锥放到一个特定的长方体中，从而来解决问题。

构造长方体AEBG-FPDC，易知三棱锥P-ABC的各边分别是长方体的对角线，不妨令EP=x，EB=y,EA=Z，则由已知条件得x2+y2=100x2+z2=136y2+z2=164，故x=6y=8z=10，从而

VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6×8×10-4×■×6×8×10=160。

构造几何图形就是补形，或把题中的图形置于另外的图形中，或把代数问题转化为几何图形。如何构造图形，构造什么样的图形，要根据题中已知条件的特点，思维活跃，善于创新，勇于开拓，结合学过的图形，展开丰富的空间想象，构造的图形应该比较常规，比较特殊，比较常见，便于计算。