美在对称巧在应用

有关直线的对称问题是学习直线方程的难点，需要我们把握对称的实质，掌握其解题方法，特别是要善于挖掘出题目中“隐性”应用，可提高解题的准确性和解题速度．

一种题型

例1

已知直线a: 2x+y-4=0,直线l: 3x+4y-1=0，求直线a关于直线l对称的直线b的方程.

分析

由平面几何知识可得，若直线a， b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：

（1） 若a， l相交，则a， b， l三线共点；若a∥l,则b∥l.

（2） 若点A∈a，则点A关于直线l的对称点为A′∈b.

由此可见，直线的对称本质上可以归结为点的对称.

解法一

由2x+y－4=0，3x+4y－1=0 得直线a与l的交点为M (3, -2)，则点M∈b. 又点A (2, 0)在直线a上，设点A关于直线l的对称点为A′(x0, y0)，

则y0x0－2=43,

3?x0+22+4?y02－1=0,解得

x0=45,y0=－85.所以A′45, －85∈b.

由两点式得直线方程为y－(－2)－85－(－2)=

x－345－3，即直线b的方程为2x+11y+16=0.

评注

因为A关于l的对称点A′一定在对称直线上，而对称直线与a的交点一定在对称轴l所在的直线上，求出此交点，可利用直线的两点式写出所求的直线方程．

解法二

设点P(x, y)为直线b上的任意一点，点P关于直线l的对称点为P′(x′, y′)，

则y′－yx′－x=43，

3?x+x′2+4?y+y′2－1=0， 解得x′=7x－24y+625，

y′=－24x－7y+825.

又P′∈a,于是有2?7x－24y+625+－24x－7y+825－4=0,即2x+11y+16=0.



故直线b的方程为2x+11y+16=0.

评注

已知点P′的轨迹是直线a，要求其关于直线l的对称点P的轨迹方程，就应该寻找点P与点P′之间的关系，用P的坐标来表示P′的坐标，再将P′的坐标代入到P′的轨迹方程中，整理之后就可以得到P的轨迹方程，即为直线b的方程.这种方法叫做相关点法（亦称转移法）,是解决解析几何中对称问题的重要方法.

两种应用

1 光线反射问题

例2

光线从点A(-3, 4)射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D(－1, 6).

（1）求BC所在直线的方程；(2)求光线从点A到点D所经过的路程．

分析

（1） 由光路原理可以知道入射光线与反射光线关于法线对称，由于法线与反射面垂直，所以可以推出入射光线与反射光线也关于反射面对称.所以点A关于x轴的对称点A′在直线BC上，点D关于y轴的对称点D′也在直线BC上.

（2） 要求光从A到点D所经过的路程，根据对称点连线被对称轴垂直平分可以知道：AB=A′B, DC=D′C,所以光线经过的路程就是A′D′.

解析

(1) 依题意，根据光的反射原理，点A关于x轴的对称点A′(-3, -4)，点D关于y轴的对称点D′(1, 6)都在直线BC上，所以由两点式可以得到BC所在直线方程为：y－(－4)6－(－4)=x－(－3)1－(－3),即5x－2y+7=0.

（2） 由点对称的性质可得，要求光线从点A到点D所经过的路程，即求点A′与点D′间的距离，而由(1)知A′D′=(1+3)2+(6+4)2=229.

2 求最值问题

例3

在直线l: 3x－y－1=0上求一点P，使得

（1） P到A(4, 1)和B(3, 4)的距离之和最小；

（2） P到A(4, 1)和B(0, 4)的距离之差最大.

分析

（1） 如图1,A, B两点在直线l的同侧,直线l上点P到A, B两点的距离之和等价于点P到A, B′ 两点的距离之和（B, B′是关于直线l的对称点）；这样就将原来问题转化为简单问题：“在直线l: 3x－y－1=0上求一点P，使得P到A(4, 1)和B′ 的距离之和最小”,所求点即为直线l与AB′的交点.

（2） 如图2,A, B两点在直线l的异侧, 直线l上点P到A, B两点的距离之差等价于点P到A, B′两点的距离之差（B, B′是关于直线l的对称点）；这样就将原来问题转化为简单问题：“在直线l: 3x－y－1=0上求一点P，使得P到A(4, 1)和B′ 的距离之差最大”.所求点即为直线l与AB′的交点.

解析

（1） 如图1，设点B关于直线l的对称点为B′，则PA+PB=PA+PB′≥AB′，即PA+PB的最小值等于AB′.此时直线AB′与直线l的交点即为P点.

设B′ (m, n)，则 3?3+m2－4+n2－1=0,

n－4m－3=－13,

可求出B′ 的坐标为35, 245.

由两点式可求得直线AB′ 方程为19x+17y－93=0.

则直线AB′ 与l的交点坐标为117, 267,即为所求的点P的坐标.

（2） 如图2,设点B关于直线l的对称点为B′，

则|PA－PB|=|PA－PB′|≤AB′，即|PA－PB|的最大值等于AB′ .此时直线AB′ 与直线l的交点即为P点.

设B′ (m, n)，则 3?m2－4+n2－1=0,n－4m=－13,

可求得B′ 的坐标为(3, 3).

所以直线AB′ 的方程为2x+y－9=0.

所以直线AB′ 与直线l的交点为(2, 5)，

即点P的坐标为(2, 5).

评注

本题直接去做，无法进行.通过求B点的对称点B′,将PB转化为PB′,从而实现问题的解决.这里运用了重要的数学思想方法——化归思想！

综上所述，对称问题是解析几何中的常见问题，中点坐标公式或两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具，解析几何中的中心对称与轴对称问题最终都归结为关于点对称问题.需要掌握的秘诀是：中心对称的两点连线的中点即为对称中心即x中=x1+x22,y中=y1+y22；轴对称的两点的连线段具有两个性质:①与对称轴垂直;②中点在对称轴上.

直线中的对称问题的解决，在于数形结合、化繁为简等思想的应用，真正体现了数学美的一面.