剖析直线方程的易错点

许多同学在刚学习直线与方程时，对直线的斜率、倾斜角、方程、距离等相关概念理解不全、不透，从而经常导致错解，下面举例剖析，以引起同学们的注意.

例1

已知两点A（0, －5）， B（3, －2）,直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，且过点C（0, 1），求直线l的方程.

错解

由已知直线AB的斜率k=－2+53=3，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，所以直线l的斜率为k=32，从而直线l的方程为y=32x+1，即3x－2y+2=0.

剖析

上述解法中直线AB的斜率为3，可知其倾斜角为60°，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，可知其倾斜角为30°，所以其斜率应为33，而学生误认为“直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半”意味着“直线l的斜率也是直线AB斜率的一半”，混淆了斜率与倾斜角这两个概念.因此，我们要谨防走入：

误区一 忽视斜率与倾斜角的定义及其关系而致错

为了避免此类错误，要深入理解直线倾斜角、斜率的定义及其二者的关系.(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，因此直线倾斜角的范围是［0°, 180°）（不直接引用定义，而是说明斜率与倾斜角两者意义上的区别）；(2)直线的斜率与倾斜角的关系是：若α≠90°，则k=tanα，若α=90°，则k不存在.直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半不同于l的斜率是直线AB斜率的一半.

正解

由已知直线AB的斜率k=－2+53=3，所以直线AB的倾斜角为60°，因为直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，所以直线l的倾斜角为30°，故直线l的斜率为k=tan30°=33，从而直线l的方程为y=33x+1，即3x－3y+3=0.

例2

求经过点A（－5, 2）且在x轴上的截距等于y轴上截距的2倍的直线的方程.

错解

设直线的方程为x2a+ya=1，把点A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直线的方程为x+2y+1=0.

剖析

上述解法中，设直线的截距式方程是有限制条件的，即截距不能为0，否则无意义，实际上本题中的截距可为0，这时方程就不适用了，造成错解的原因是没有深刻理解直线截距式方程成立的前提条件.因此，我们要谨防走入：

误区二 忽视截距式方程的限制条件而致错

为了避免此类错误，需要深入理解直线的截距式方程成立的条件.若直线的横截距和纵截距分别为a, b，且截距均不为0，这时可设直线的截距式方程为xa+yb=1，然后根据已知条件列出相应的方程，待定系数a, b；当直线的截距其中之一为0时，此方程不成立，这时可选择直线方程的其他形式.选择直线某一方程务必要注意方程成立的前提条件，以免因忽视限制条件而致错.

正解

若截距不为0，可设直线的方程为x2a+ya=1，把点A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直线的方程为x+2y+1=0；若截距为0，可设直线的方程为y=kx，把点A（－5, 2）代入得k=－25，所求直线方程为2x+5y=0，故所求直线的方程为2x+5y=0和x+2y+1=0.

例3

已知直线l1:ax+2y+3a=0与直线l2:3x+（a－1）y=a－7平行，求a的值.

错解

因为l1∥l2，所以3a=a－12，即a2－a－6=0,解得a=3或-2.

剖析

上述解法中，若a=－2，此时直线l1的方程为－2x+2y－6=0即x－y+3=0，直线l2的方程为3x－3y=－9，即x－y+3=0，此时两条直线是同一条直线，造成此题错误的原因在于判断两直线位置关系时忽视了成立的条件.因此，我们要谨防走入：

误区三 忽视直线位置关系成立的条件而致错

两直线平行可分为两种判断情况：

（1） 已知直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b2，若两直线平行则k1=k2, b1≠b2（假设其中两直线的斜率均存在）；

（2） 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0，若两直线平行则A1A2=B1B2≠C1C2（其中系数均不为0,否则另行考虑），因此本题中的条件还应考虑到是否重合这一条件，需要检验，避免因忽视直线位置关系成立的条件而致错.

正解

若a=0时两条直线显然不平行；

若a≠0，则3a=a－12≠a－7－3a，解得a=3，故所求a的值为3.

例4

求经过点A（2, －1）,且到点B（－1, 1）的距离为3的直线方程.

错解

由点斜式可设所求直线方程为y+1=k（x－2）,即kx－y－2k－1=0.由题设,点B（－1, 1）到此直线的距离为3,即|－k－1－2k－1|1+k2=3,解得k=512,于是所求直线的方程为y+1=512（x－2）,即5x－12y－22=0.

剖析



因为AB=（2+1）2+（－1－1）2=

13>3，结合图形可知所求直线应该有两条，所以上述解法不完全正确.究其原因，是未考虑直线斜率不存在的情况，另外一条直线的斜率恰巧不存在，无法用点斜式方程来表示.因此，我们要谨防走入：