力学中的变质量系统问题研究

【摘要】本文从动态的角度，把一个与外界不断发生质量交换的系统作为主体研究对象，研究变质量系统的力学规律，也继而将若不加分析地把适用于质量不变系统的力学规律，用来解决这类问题，就会得到错误的结果作了说明。

【关键词】变质量系统;质点;经典力学

在液滴的蒸发与凝聚、滚雪球、纤绳提拉、甚至火箭喷射等变质量的物理力学问题中，我们往往是着眼于主体的运动。如果把主体作为研究对象，这就是一个与外界不断发生质量交换的系统。这时的情况就较为复杂，若不加分析地把适用于质量不变系统的力学规律，用来解决这类问题，就会得到错误的结果。

图一

一、如何处理变质量系统的力学问题呢？我们只要设法把它转化为质量不变系统的力学问题就行了。如图一，把t时刻主体m，和t至t+t时间间隔内主体与外界交换的质量m，作为我们的研究对象。那么，在t+t的全部时间间隔内，所讨论的系统的质量是不变的，即系统可视为一个质量不变系统，由此就很容易得到变质量系统的动力学公式。

设某一时刻t，主体质量为m，其质心速度为v，在t+t时，主体质量变为m+m，速度为v+v，即这段时间内，有质量为m的质元加入（或离开）到主体上，设m在附着于主体m之前的速度为V，（这里v和v ' 相对于同一惯性参照系），又假设在t时间里，作用在主体m上的合外力为F。对于包括m和m的系统，其质量是不变的。因此，关于质量不变系统的动量原理仍然适用，于是有：

F・t =（m+m）（v+v）C mv Cmv '

在t0的极限情况下，略去两个无穷小项的乘积，可整理得

F+ v ' = m （1）

若以u表示dm相对于主体的速度，因u= v ' C v，则（1）式可写成

F + u= m （1'）

式（1）或（1'）就是变质量系统的力学基本方程。

由式（1）和（1'）可以看出以下意义：式（1'）中 u具有力的量纲，它显然是加入（或放出）的质元对主体的一种作用，有人把这种附着（或放出）反应的作用，称为反作用力。如果考虑到这种反作用力，（1'）式就与通常的牛顿第二定律的形式一致了。对于增质量情况，当u与V方向一致时，反作用力u为正，对主体来说是推动力;反之就是阻力。由静止向上提起一根纤绳的运动，就属于后者的类型。对于减质量的情况，当u与v方向一致时，反作用力u为负，对主体来说是阻力;反之就是推动力，如火箭飞行就属这类。

二、根据式（1）或（1'），我们可以导出关于变质量系统的动量原理和动能定理等力学的重要原理。

式（1）对时间取积分，得

F・t +v 'dm = m2v2-m1v1（2）

这就是关于变质量系统的动量原理。它表明，对于变质量系统，系统的动量变化，不仅与外力作用的冲量有关，而且与质量迁移所伴随的动量迁移的多少有关。

对于F=0，v=常量的特殊情况，由（2）得V'（m2-m1）= m2v2 - m1v1 它清楚地说明，此时系统的动量变化，是由于质量迁移的结果。

三、对于变质量系统，外力所做的功与系统能量变化的关系，可以推导如下：

若在dt这段时间内，物体通过的位移为ds，则作用在系统上的力F所作的元功为

dA = F・ds =・ds-v '・ds = v・d（mv）-v '・vdm

因v・d（mv）= d（mv2）+v2dm则对于一个完整的过程

A=F・ds =（m2v2 2 -m1v1 2）+v2 2 dm -v '・vdm （3）

这就是变质量系统的功能关系。

式（3）出现了两项与质量迁移有关的项，为了搞清它们的含义，不妨举例说明。

如图二所示，若一匀质纤绳，线密度为λ，盘绕在光滑水平面上h0，由静止向上提拉。设提拉到高度hh0时，速度为V。取图示坐标，合外力F= f-λgy;考虑到v ' = 0，代入（3）式并整理得：

f・dy=（λh v 2 + λg h 2）+v 2 dm

上式右边括号表示纤绳机械能的增量。上式表明，在提拉纤绳过程中，拉力所做的功中，有一部分并没有转变为机械能，这就是提拉过程中的机械能损失。其意义是很明确的：在纤绳提拉过程中，不断有静止的质元加入主体，这些质元与主体发生了类似于非弹性碰撞的物理过程。这部分损失的机械能，当然是由外力作功来提供的。

对于v'不等于零的情况，v '・vdm ≠ 0，它可以理解为伴随质元的迁移所转化或迁移的能量。（如火箭因燃烧而喷射高

速气流时，所转化的能量。）

四、在前面的讨论中，我们把主体（系统）看成千个“质点”;就是说，我们没有考虑物体的转动，而只研究物体的平动。因此，上述的有关规律，是关于质点的变质量系统力学规律。在此基础上，我们可以建立相应的变质量刚体力学规律。 把基本方程（1）的两边都与矢径r取矢积，有

r×F + r×v '= r× （4）

根据质点角动量的定义 L = r×P = r×mv

对上式取时间t的导数

= （r×mv）= r ×+ v×mv

因v×mv =0 于是得= r ×

将此代入（4）式得

r×F + r×v '=

这就是变质量系统的质点角动量定理。其中r×F是作用在质点上的合外力对转动中心（在这里取作坐标原点）的力矩;如果我们把r×V'称为附着反应的反作用力矩，那么式（5）在形式上与通常的质点角动量定理相似。

根据式（5），我们可以进一步导出关于变质量系统的质点系角动量定理和刚体转动定律。

设有多个质点组成的变质量系统，根据牛顿第三定律，诸内力成对地大小相等方向相反，因此它们对任一点力矩的矢量和必等于零。即∑ri×fi =0

令 M = ∑ri×Fi

M ' = ∑ri×V ' L = ∑ri×mi vi

其中M表示各外力对转动中心的力矩之和;M '表示各反作用力对转动中心的反作用力矩之和;L表示各质点对转动中心角动量的矢量和。则可写成 M +M ' =

这就是变质量系统的质点系角动量定理。

对于绕固定轴转动的物体（系统），如图三。由于物体上各点的角速度均为ω，将物体分成多个质点，第i个质点的质量为mi，它对转轴距离为ri，考虑到vi=ω×ri，则它对转轴的角动量为Li=ri×mivi = miri2ω 所以整个物体对转轴的角动量 L= ∑ri×mi v =（miri2）ω = Jω

其中J=∑miri2 是物体对转轴的转动惯量。于是根据式（6）相应可得M+注意这时的M、M '、J都是对同一转轴而言的，并且J是随着质量迁移而变化的，因而不是常数，不能提到括号外。只要各质点间的相对位置不可变化，物体仍然可认为是刚体。式（7）就是关于变质量系统的转动定律。有了式（7），我们很容易导出有关变质量刚体力学的其他规律，在此不作讨论了。

最后说明，上述关于变质量力学问题的规律，都是在经典力学范围内讨论的。

参考文献：

[1]陈培胜，方建会. 相空间中非完整非保守系统的形式不变性[J].物理学报.2003（05）

[2]罗绍凯. 转动相对论系统的Appell方程及其形式不变性[J].物理学报.2002（04）

[3]《中学物理课堂教学设计的理论与实践》 乔际平主编 高等教育出版社

[4]邬美娜：《教学设计》M.，高等教育出版社，1994。