应用奇数和偶数的加法性质及推论解决数阵填数的问题

【摘 要】数阵填数是一种旨提高小学生计算能力和发展智力的有趣活动。我们通常把一些数字按一定顺序排列起来成为数阵，使之每条线上几个数字的和都相等。一般的数阵有放射式数阵，如十字形、叉字型数阵、向四周呈放射状的数阵；也有封闭式数阵，如三角形、正方形、圆形，它们的首尾相连接形成封闭的区域。在实际指导学生尝试数阵填数的过程中，往往引导学生先观察数阵的形状，再根据算法通过一定的计算确定数阵中给定各数的位置。但是对于其中的计算过程，其计算算法和思考的过程有诸多异同，本文试图利用数的奇偶性性质这个角度解决数阵填数的此类问题。

【关键词】奇数；偶数；加法性质；数阵

对于学生而言，两数和的奇偶性指的是其加法的性质，即两个奇数相加的和是偶数，一奇一偶相加的和是奇数，两个偶数相加的和是偶数。用数学式表示是：（1）奇数+奇数=偶数；（2）奇数+偶数=奇数；（3）偶数+偶数=偶数。根据所得和的奇偶性可以将上述三个数学式分成两类：1奇数=奇数+偶数，2偶数=奇数+奇数（或偶数+偶数）。学生在学习四则运算法则之后，对于两数和的性质多应用判断或演绎推理。在面对数阵填数此类型问题的解决中，如何应用该法则进行适当的演绎推理来确定数阵中各个位置的数，成为了一种比较有效且快速的手段。笔者归纳了此类型问题的具体应用，来看看究竟怎样应用两数和的奇偶性来解决问题的：

首先，我们先对奇数、偶数加法性质进行演绎推理进而得出通式

先看各数之和是奇数的情况：

两数之和：奇数=奇数+偶数

三数之和：我们可以通过演绎推理得到，奇数=奇数+偶数，第一种方式把等式右边的奇数拆成偶数+奇数的形式，这样我们就有奇数=偶数+奇数+偶数；第二种方式把等式右边的偶数拆成两个数的和，因为两数和是偶数的情况有两种，即偶+偶、奇+奇，所以我们把这两种情况分别代入回原等式，我们有奇数=奇数+奇数+奇数和奇数=奇数+偶数+偶数。我们再同上一种情况进行对比不难发现，三数之和为奇数只能写成两种等式，即（1）奇数=奇数+偶数+偶数，（2）奇数=奇数+奇数+奇数

四数之和：我们在三数之和的基础上研究四数之和为奇数的关系。刚才我们推出了三数之和为奇数的关系式有两种，我们分别对这两种情况进行演绎推理

对三数之和的（1）公式进行推理，奇数=奇数+偶数+偶数，依次把等式右边各数拆成两个数之和，有如下几种情况：

奇数=奇数+偶数+偶数+偶数

奇数=奇数+奇数+奇数+偶数或者奇数=奇数+偶数+偶数+偶数

奇数=奇数+偶数+奇数+奇数或者奇数=奇数+偶数+偶数+偶数

去除掉相同式，再整合，我们归纳出四数之和的推导公式：

奇数=奇数+奇数+奇数+偶数或者奇数=奇数+偶数+偶数+偶数

用同样的方法我们对公式（2）进行推导，再整合归纳得到推导公式：

奇数=奇数+奇数+奇数+偶数

我们能发现，公式（2）的推导其实和公式（1）的推导中的其中一个是相同的，因此，四数之和是奇数的公式也有两个：

（1）奇数=奇数+奇数+奇数+偶数

（2）奇数=奇数+偶数+偶数+偶数

接下来，五数之和、六数之和……，就可以用上述相同的方法进行推导。

接着，我们再来看看各数之和是偶数的情况，还是用递推的办法得到下列公式：

两数之和：（1）偶数=偶数+偶数

（2）偶数=奇数+奇数

三数之和：（1）偶数=奇数+奇数+偶数

（2）偶数=偶数+偶数+偶数

四数之和：（1）偶数=奇数+奇数+偶数+偶数

（2）偶数=奇数+奇数+奇数+奇数

（3）偶数=偶数+偶数+偶数+偶数

……

我们可以通过归纳上述公式，得到通式：

取n代表所有组成这个和的数的个数，k代表其中组成的奇数的个数，且n≥2得：

奇数=k奇数+（n-k）偶数 且k取奇数，0

偶数=k奇数+（n-k）偶数 且k取偶数，0≤k≤n

我们对这两个通式证明一下，先对上面的第一个式子：

奇数=k奇数+（n-k）偶数 且k取奇数，0

证明：当n=2时，0

于是奇数=奇数+偶数 该式成立

假设该通式对n成立，下面验证对n+1也成立，及验证：

奇数=k奇数+（n+1-k）偶数

由对n成立，奇数=k奇数+（n-k）偶数 且k取奇数，0

可以写成 奇数=奇数+（k-1）奇数+（n-k）偶数

=奇数+偶数+（k-1）奇数+（n-k）偶数

=k奇数+（n+1-k）偶数

也可以写成 奇数=k奇数+（n-1-k）偶数+偶数

=k奇数+（n-1-k）偶数+偶数+偶数

=k奇数+（n+1-k）奇数

或者=k奇数+（n-1-k）偶数+奇数+奇数

=（k+2）奇数+（n-1-k）偶数

另k’=k+2，则k=k’-2，代入上式，得

=k’奇数+（n+1-k’）偶数

因此，对n+1的情况，该通式也成立，且k取奇数，0

即该通式

奇数=k奇数+（n-k）偶数且k取奇数，0

同理，我们也可以证得通式：

偶数=k奇数+（n-k）偶数且k取偶数，0≤k≤n 成立

证毕。

有了上面的基础，下面我们来看如何应用这些递推公式解决数阵填数的问题。第一步，先将题目中给定的个数按奇数和偶数分成两组，弄清奇数组和偶数组各有多少个数；第二步，观察给定数阵的结构形状，特别注意其中公共数有几个；第三步，根据题中已给条件，若给出明确的几数之和，则根据和是奇数还是偶数，展开成相对应的几个数的和的几个关系式（两个或两个以上），分析关系式中公共部分，确定数阵中公共数是奇数还是偶数，若题中未给出明确的和，则根据题中条件，分情况进行讨论即可，确定对应情况确定数阵中公共数是奇数还是偶数；第四步，在第三步的基础上，对符合条件的数进行试数计算，同时根据关系中奇数和偶数的搭配，开展计算，相比于其他方法，此方法会更有目标性，更快捷方便，同时有助于学生的数学素养培养。

以上解决数阵填数问题采用的一般思路，那么在实际问题中该如何解决，下面我们通过实际的数阵问题，有简单到复杂，来看看具体解决的过程：

（1）如下图，把2、3、4、5、6，这5个数填入5个圆圈里，使每条斜线上的3个数相加之和都是12

解决过程：首先，我们引导孩子拿到这样的问题时先观察该数阵的形状，很显然这是一个放射式叉字型数阵。从题目中我们知道要把5个不同数字填起来，分别使3个数字和为12，又从该数阵图形上获悉，两条线的加法共用了其中一个数，于是我们找到了解决该问题的突破点：先确定看看这个数究竟是什么？运用奇偶性我们先知道题中给出的5个数是三个偶数和两个奇数。我们又知，三个数的和是12，12本身作为一个偶数，那么它有两个组成是12=奇数+奇数+偶数和12=偶数+偶数+偶数。分析一下，题目中给出了3个奇数和2个偶数，如果这两条线上的数的组成是同一种关系式，则需要的奇数和偶数的个数不可能满足要求，必然是两条线上各有一种关系式，再看这两组关系式，它们的公共部分都是有一个偶数，这样，我们就知道在圆圈内必然要填上一个偶数。而剩下的数，就是选两个奇数和两个偶数分别与其搭配，其和是12就可以了。因为本题所给出5个数中，只有两个奇数分别是3和5，所以它们与某一个偶数的和是12，我们计算这个偶数是12-3-5=4，得到中间的这个数字是4，那么最后剩余的两个数2和6也就全出来了，也可以此时再进行验算一下，看看2、4、6的和是不是12，这样我们的过程就完整了。于是，本题的答案就是：

分析上述过程，其实就是利用数和的奇偶性展开成三个数相加的关系式，根据数阵形状，先确定公共数的奇偶，再根据关系式中奇数和偶数的搭配，进行简单且必要的计算，即可求解，有明确的思路，过程不盲目，同时简化了试数计算时比较繁琐程序。我们再看看下一题：

（2）在里填数，使每条线上3个数的和等于右边里的数

解决过程：我们通过观察数阵，知道这是一个解决三数之和是13的数阵填数问题，但是本题相较于上题来说，题中没有给定我们是哪几个数，我们唯一知道其中一个数是4。下面用我们推导的关系式来看看怎么解决。同样，13=奇数+偶数+偶数，也可以是13=奇数+奇数+奇数，因为本题中没有固定的数组，因此这两条线的组合可以都是是奇数+偶数+偶数的组成，也可以是其中之一为奇数+偶数+偶数，另外之一为奇数+奇数+奇数的组合，但不能都是奇数+奇数+奇数的组合，因为其中一组数中含有4，4是偶数，所以并不是奇数+奇数+奇数的形式。那么，我们以第二种组合为例来看如何解决，很容易找出第二种组合中两个关系式的公共部分是奇数，那么在数阵中的公共数填上一个奇数即可，因为有一个组合中有4了，和为13，所以应填上小于9的任意一个奇数就行，假定填上数字7，那么对应的这条线上的数字就必须填上一个偶数，经过计算这个偶数是2。另外一条线，填上两个奇数，且任意一个都小于6就行，我们可以填数字5，最后一个数字自然就是1.那么我们就得到了本题其中的一种答案：

（结果不唯一）

其他答案也可以根据关系式快速地解得。因为本题未给定确定的数组，所以在分析选择填数的过程中就可以在满足条件的范围内任意选取相对应的数，因此，本题的数阵填数也是一个相对开放的题目，结果不唯一。从解题计算的过程还是从分析应用这些关系式入手的。

（3）如下图，将4，5，6，7，8，9这6个数填在里，使每个大圆上4个数的和为26

解决过程：前面两题我们研究的是三数之和，本题是四数之和的问题来看看怎么解决。首先，还是先划分一下所给数组是奇数还是偶数，本题中奇数组由5、7、9三个奇数组成，偶数组有4、6、8三个偶数组成。四个数的和为26，那么我们上面推知26的组合公式有三种可能性，但根据本题中如果是以公式（1）和公式（2）组合的话，本题中需要四个奇数和两个偶数，而本题中只有三个偶数和三个奇数，故不满足题意舍去。如果是公式（1）和公式（3）或者公式（2）和公式（3）组合，同样也不满足题中所给奇数和偶数的个数要求，因此本题中的组合只可能是一个公式下的两种不同组合，同样对公式（2）和公式（3）而言，若组合是它们中的一个，则题中所给数必须是全奇数或者全偶数，也不满足题意。因此，本题只可能是26=奇数+奇数+偶数+偶数的组合。如果数阵中公共部分填的全是奇数或者全是偶数的话，显然另外的四个圈中必须填上全是偶数或者全是奇数，这样又需要4个偶数或者4个奇数的情况，显然不满足我们的要求，所以中间的数应该填上一个奇数和一个偶数。经过上述分析，我们对数阵中的填数情况基本上心中有底了，下面我们通过一些简单的计算就可以求解此问题。

还是先试数，在给出的奇数组和偶数组中各取出一个数，假定偶数组我们先取4，奇数组我们取9，那么剩余的两个数的和必须是13，所以在剩下的5、6、7、8中，我们发现5和8的组合、6和7的组合正好是13，本问题求解出来。我们发现，既然4和9、5和8、6、7本身就是一个奇数和一个偶数，那么他们中的任意一个都可以填在这个数阵中的公共位置，所以本题的答案就不唯一了，但4与9、5与8、6与7这样的组成是固定的，因为如果其中换成另一组成，比如4与7，那么剩下的两个数之和必须要为15，而剩下的5、6、8、9中只能有6和9之和满足15，而5和8之和是13，最后，我们的求解并不能成功填上对应的数阵。如果是先选了4和5，也不可能填上数阵。因此本题的解为：

（答案不唯一，三个纵列可以相互交换各自的位置）

（4）如下图，将1～7这7个数字填入图中小圆圈内，使每个大圆圈上的4个数的和相等。

解决过程：本题中是四数之和相等的数阵填数问题，题中我们一组数之后没有给定我们四数之和是多少，相比于之前的问题，解决的过程就可能会复杂一些，要分情况讨论：

先假定每个大圆圈的各数之和是奇数

还是先将数组分成奇偶两个组，奇数组为1、3、5、7四个数，偶数组为2、4、6三个数。有关系式知道：奇数=奇数+奇数+奇数+偶数或者奇数=奇数+偶数+偶数+偶数。通过分析，对于这两个大圈数的组成不可能都为同一种关系式，因为需要的奇数和偶数的个数不满足题中给定的数的个数限制，所以必然是每一个大圈对应一个关系式。再分析，这两个关系式中的公共因素可以是偶数，也可以是奇数，那么数阵中公共圈内有两种可能：

如果是奇数，那么从去掉数组中去掉这个数，剩下的六个数分组后之和也因相等，又因为其中一个关系式组成为奇数=奇数+偶数+偶数+偶数，所以这个和因是2+4+6=12，再看看奇数组中去掉一个奇数后，剩余的三个数有没有其和等于12，经发现，没有符合这样的组合，故数阵中公共数不可能为奇数。

再来假定是偶数，去掉一个偶数后，其实两个关系式可以；列成奇数+奇数+奇数+=奇数+偶数+偶数，移项后发现，奇数+奇数+奇数-奇数=偶数+偶数，从这样的关系式中，我们得出结论，三个奇数之和与剩余奇数作差等于偶数组两个数的和。我们可以尝试一些计算，发现1+5+7-3=4+6，那么公共数是2，配组的数为1、5、7和3、4、6，这样问题就解决了。

那么会不会各数之和是偶数的情形呢？作为讨论完闭性，我们再接着看

偶数的情况，关系式有三种可能：

偶数=奇数+奇数+偶数+偶数……（1）

偶数=奇数+奇数+奇数+奇数……（2）

偶数=偶数+偶数+偶数+偶数……（3）

分析一下，两个大圆圈的数组成如果是三个关系式中的任意两个，无论是（1）和（2）、（2）和（3）或者（1）和（3），都不满足对题中给出的奇数、偶数的个数限制，如果都是三个关系式中的其中一个，（2）或者（3）需要的奇数和偶数不满足要求，也不可能。（1）有可能，列式奇数+奇数+偶数+偶数=奇数+奇数+偶数+偶数，如果公共部分是奇数，那么这种情况就需要有4个奇数，显然不适用，如果公共部分是偶数，那么有奇数+奇数+偶数=奇数+奇数+偶数，那么通过试数计算，显然找不到这样合适于本条件的数的搭配，所以对于其和是偶数是不成立的。故本题的解为：

（5）如下图，把1、2、3、4、5、6、7、8填入下图8个里，使每个圆圈上的5个数之和都等于20.。

解决过程：本题是五数之和的情况，先把给定的数组按奇偶分类，奇数组：1、3、5、7；偶数组：2、4、6、8。再看其组合的可能性，在四数之和的基础上推知五数之和，因为20是偶数，可以得到：

偶数=偶数+偶数+偶数+偶数+偶数……（1）

偶数=奇数+奇数+偶数+偶数+偶数……（2）

偶数=奇数+奇数+奇数+奇数+偶数……（3）

因为题中只给我们四个奇数和四个偶数，所以两个大圆圈组合的情况可能是（2）和（3）或者（2）和（2），对于（2）和（3）而言，数阵中公共部分应填上两个奇数，因（2）和（3）的关系式之和相等，建立等式，且其中又有相同的两个奇数，同时约去，我们得到这样的一个关系等式：偶数+偶数+偶数=奇数+奇数+偶数，根据这样的关系式再进行试数计算，可以发现，正好7+5+4=2+6+8，而中间公共部分填上1和3就可以了。如果是（2）和（2）的组成，那么他们的公共部分只可能是两个偶数，建立等式约去公共的两个偶数，我们同样有一个关系等式：奇数+奇数+偶数=奇数+奇数+偶数，经过试数计算，我们在题中所给的数中找不到可以搭配的这样一组数，故本题的解为：

由以上这些例题，我们发现，对于数阵填数问题，我们可以从题中所给的对应条件出发，通过对数的奇偶及其组成分析，我们得到一些关系等式，再按照这些等式，通过有针对性的必要计算，得出问题的答案。我们可以看到。通过这种方法解决此类问题，学生不会变的盲从，无目标性，而是一步步利用自己的知识把复杂转化为简单的，理清条理和思路。当然，任何方法对于解决数阵填数这类问题都有其适用性，本方法对于解决有限个数（一般所给数组的容量不超过10个数）的数阵填数问题有明显效果，但是对于拥有较大或庞大数组的数阵填数，虽然也能够解决，但其中分析与计算的过程仍较繁琐。

当然，学生在解决数阵填数问题时，还有多种不同的方法，但是不管用何种方法，必要的计算仍是不可或缺的。本文也只是从数的奇偶的性质及其推论这个角度对有趣的数阵问题进行归纳与概括。笔者发现，利用这种方法，有助于培养学生数理逻辑思维的发展，也有助于培养学生严谨周密的数学思考，同时还有助于形成学生的数学建模能力。