浅析面积法证明几何定理
时间：2022-10-05 08:23:29
【摘要】大家熟知的中学数学教材中的勾股定理和正弦定理就是用面积法证明的，用面积法证明某些几何定理和试题简单明了，本文将用面积法证明6个几何定理。
【关键词】面积法；证明；几何定理
Application area method certificate several axioms
Yang Dao-liang
【Abstract】In mathematics teaching material in the high school that everyone be familiar with of hang up an axioms and sine axioms be use an area method certificate of, use an area method certificate several some axioms with try simple clear, this text will use an area method certificate 6 several axioms
【Key words】Area method;Certificate;Several axioms
所谓面积法就是用面积相等的关系式推导得出所需结论的方法。大家熟知的中学数学教材中的勾股定理和正弦定理就是用面积法证明的。用面积法证明某些几何定理和试题简单明了，面积法是解决一部分几何定理和试题的有效途径和方法。本文将用面积法推理证明6个几何定理。
（1）等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
如图1，已知ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C。
证明： 12·AB·BC·Sin∠B
＝12·AC·BC·Sin∠C
Sin∠B＝Sin∠C
∠B＝∠C或者∠B＋∠C＝180°
∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＞0°
∠B＋∠C＝180°不成立，
故∠B＝∠C。
图1
（2）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图2，已知AB∥CD∥EF，求证：AC/CE＝BD/DF。
证明：连结AD、BC、CF和DE，
作DCAE交AE于G，CHBF
交BF于H，则SACD SCDE＝ 12AC·DG12CE·DG
＝ ACCE， SBCD SCDF＝ 12BD·CH12DF·CH＝BDDF ，
又AB∥CD∥EF
SACD＝SBCD，SCDE＝SCDF，
AC/CE＝BD/DF。
图2
（3）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
如图3：已知AD是ABC中∠A的平分线，求证：BD/DC＝AB/AC。
证明：作AEBC于E，
BDDC＝ 12AE·BD12AE·DC＝ SABD SACD
＝12AB·AD·Sin∠BAD12AC·AD·Sin∠DAC＝AB AC，
BD/DC＝AB/AC。
图3
（4）同理可证明三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，则这两条线段和相邻的两边对应成比例（证法略）。
（5）三角形重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中心点的距离的两倍。
如图4，已知G是ABC的重心，求证：AGGD = 21， BGGE = 21， CGGF = 21。
图4
证明：SADC＝21SABC＝SBCE
SAGE＝SBDG
作CHAD且交AD于H
又SBDG＝SCGD，SAGE＝SCGE
AGGD＝CH ·AG/2CH ·GD/2＝ SAGCSCGD
＝2·SAGESAGE＝21；
同理可证BGGE＝ 21，CGGF＝21 。
（6）四边形的面积等于二对角线与其夹角正弦的积的一半。
证明：如图5
图5
SABCD＝SABE＋SBCE＋SCDE
＋SADE＝12AE·BE·Sin∠1
＋ 12BE·CE·Sin（180°－∠1）
＋ 12 CE·DE ·Sin∠1＋ 12AE·
DE·Sin（180°－∠1）＝
12AE（BE＋DE）Sin∠1＋ 12CE
（BE＋DE）Sin∠1＝ 12AC·BD·
Sin∠1，
SABCD＝ 12·AC·BD·Sin∠1。
