不等式问题:均值不等式和柯西不等式的运用

主 讲：沈新权

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

在现实世界中，相等是相对的，不等是绝对的．不等关系是现实生活中最普遍的数量关系，不等式是刻画不等关系的一种重要数学模型．不等式与数、式、方程、函数、导数等知识都有着天然紧密的联系，是学习高等数学的重要基础．在自主招生考试中，不等式问题主要分为三类：利用不等式求最值、解不等式、证明不等式．在本期内容中，我们讨论用均值不等式和柯西不等式解决这三类问题．

一、均值不等式和柯西不等式

均值不等式：ai>0（ｉ＝1，2，…，ｎ） ，记ａ1到ａｎ这ｎ个正实数的平均数如下：调和平均数Hｎ＝■＝■，几何平均数Gn=■=■，算术平均数An=■=■，平方平均数Qn=■=■，且有Hn≤Gn≤An≤Qn，当且仅当a1=a2=…=an时，Hn=Gn=An=Qn．其中，An≥Gn，即■≥■的使用频率比较高．

柯西不等式： ai，bi（ｉ＝1，2，…，ｎ）为实数，则■■■■≥■ａｉｂｉ2． 若ａｉ≠0，当且仅当■=■=…=■时，等号成立；若ai=0，默认bi=0，等号也成立.柯西不等式的二维形式为（ａ2+ｂ2）（ｃ2+ｄ2）≥（ａｃ+ｂｄ）2，当且仅当ａｄ＝ｂｃ 时，等号成立．

二、利用均值不等式和柯西不等式求最值

利用均值不等式求最值时，要对所求的函数或代数式进行适当的“凑配”，“凑配”主要以“和为定值，积最大”“积为定值，和最小”为依据，在函数或代数式的转化过程中找到定值．

利用柯西不等式求最值时，也要对系数进行适当的“凑配”，“凑配”的主要目的是把目标函数向柯西不等式的形式转化．

利用均值不等式和柯西不等式求最值时，都要注意等号成立的条件．

例1 （2008年南开大学自主招生考试试题） 已知正数ａ，ｂ，ｃ满足：ａ2+ａｂ+ａｃ+ｂｃ＝6+2■，则3ａ+ｂ+2ｃ的最小值为 ．

解析：由题意可知（ａ+ｂ）（ａ+ｃ）＝6+2■，即ａ+ｂ与ａ+ｃ的乘积为“定值”． 3ａ+ｂ+2ｃ＝（ａ+ｂ）+2（ａ+ｃ）≥2■＝2■+2■，当且仅当ａ+ｂ＝2（ａ+ｃ）时，等号成立. 3ａ+ｂ+2ｃ的最小值为2■+2■.

例2 （2007年复旦大学自主招生考试第81题） 给定正整数ｎ和正常数ａ，若ａ1，ａ2，ａ3，…成等差数列｛ａｎ｝且｛ａｎ｝满足不等式■+■≤ａ，则和式■ａｉ的最大值为

（A） ■（ｎ+1） （B） ■ｎ

（C） ■（ｎ+1） （D） ■ｎ

解析：根据题意，设｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝ａ1+（ｎ-1）ｄ，则由题意得■ａｉ＝■＝■＝■． 如何把■与■+■联系起来呢？将■视作（-ａ1）2，在■+■前面乘以系数（32+12），根据柯西不等式的二维形式（ａ2+ｂ2）（ｃ2+ｄ2）≥（ａｃ+ｂｄ）2，可得（3ａｎ+1-ａ1）2≤（32+12）・［■+（-ａ1）2］≤10ａ，即3an+1-ａ1≤■. 当an+1＝-3ａ1，■+■＝ａ时等号成立． ■ａｉ的最大值为■（ｎ+1）． 选A．

三、利用均值不等式和柯西不等式求解代数式

利用均值不等式和柯西不等式解题时，若等号成立，不等式便可转化为等式．据此，我们可以求出一些代数式的值．

例3 （2002年上海交通大学自主招生考试第10题） 若a，b满足关系：a■+b■=1，则a2+b2= ．

解析：直接对a■+b■=1进行两边平方化简，很难求出a2+b2的值． 如果我们联想到a2+（■）2＝1，b2+（■）2=1，则由柯西不等式可得（a■+b■）2≤（ａ2+1-ａ2）（1-ｂ2+ｂ2）＝1.又由条件a■+b■＝1可知不等式a■+b■≤1能取到等号， ■＝■，化简得a2+b2=1．

四、利用均值不等式和柯西不等式证明不等式

利用均值不等式和柯西不等式可以拓宽不等式证明的思路：借助均值不等式可以实现“和”与“积”的转换，借助柯西不等式则能起到“降次、升幂、去分母”的作用．

例4 （2011年“华约”自主招生考试第13题） 已知函数ｆ（ｘ）=■，ｆ（1）=1，ｆ■=■，令数列｛ｘｎ｝满足ｘｎ+1＝ｆ（ｘｎ），ｘ1＝■．（1） 求数列｛ｘｎ｝的通项；（2） 求证：x1・x2・…・ｘｎ>■．

解析： （1）由ｆ（1）=1，ｆ■=■解得a=1，b=1， ｆ（ｘ）=■．由ｘ1＝■，ｘｎ+1＝ｆ（ｘｎ）解得ｘ2＝■，ｘ3＝■，ｘ4＝■，故猜想ｘn＝■．用数学归纳法证明：当n=1时，ｘ1＝■=■成立；假设n=k时猜想成立，即ｘk＝■． ｘk+1=ｆ（ｘk）=■=■=■， 当n=k时，猜想成立. ｛ｘｎ｝的通项公式为ｘｎ＝■ ．

（2） 要证x1・x2・…・ｘｎ >■，只需证■

到这里，解此题必用的结论■1+■n=e登场了，作为课外补充，该结论需要同学们牢记.

■1+■n=e， 1+■1+■・…・1+■■．

例5 （2008年南开大学自主招生考试试题） 设ａ，ｂ，ｃ为正数且ａ+ｂ+ｃ＝1．求证：ａ+■2+ｂ+■2+ｃ+■2≥■．

解析：首先来分析待证不等式的结构特征．由于不等式左边是二次代数式的和，右边是常数，而已知条件是一次代数式的和，所以我们要设法把不等式左边的二次式降为一次式，再把一次式降为常数，这样柯西不等式才会有用武之地．

ａ+■2+ｂ+■2+ｃ+■2=■（12+12+12）ａ+■2+ｂ+■2+ｃ+■2≥■1・ａ+■+1・ｂ+■+1・ｃ+■2=■1+■+■+■2=■・1+（ａ+ｂ+ｃ）■+■+■2≥■1+■・■+■・■+■・■22＝■（1+9）2＝■．

解题过程中两次使用了柯西不等式，第一次等号成立的条件是ａ+■＝ｂ+■＝ｃ+■，结合a，b，c为正数和ａ+ｂ+ｃ＝1，解得ａ＝ｂ＝ｃ＝■．第二次等号成立的条件是ａ＝ｂ＝ｃ＝■．两次等号成立的条件相同，故所证不等式成立．

例6 （2010年浙江大学自主招生考试第5题） 有小于1的正数x1，x2，…，xn且x1+x2+…+xn=1，求证：■+■+…+■>4 ．

解析：待证不等式右边为常数4，左边是一些分式的和，形式复杂，难以通分求和. 我们考虑从不等式左边的分母着手，使之与已知条件相关联：将不等式左边的分母x1-■，x2-■，…，xn-■相加，和式中就出现了x1+x2+…+xn的形式.

由柯西不等式可得［（x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）］■+■+…+■≥ｎ2． x1+x2+…+xn=1， （x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）＝1-（■+■+…+■）． 0

通过以上讲解，我们发现，在求解不等式问题的过程中，均值不等式和柯西不等式起着“神来之笔”的作用．另外，排序不等式、琴生不等式的用处也很大，如果你掌握了它们，在自主招生考试中，或许会有意想不到的收获．

排序不等式：

设a1≤a2≤a3≤…≤an，ｂ1≤ｂ2≤ｂ3≤…≤ｂn，则有ａ1ｂｎ+ａ2ｂｎ-1+ａ3ｂｎ-2+…+ａｎｂ1（反序乘积和）≤ａ1ｂｒ1+ａ2ｂｒ2+ａ3ｂｒ3+…+ａｎｂｒｎ（乱序乘积和）≤ａ1ｂ1+ａ2ｂ2+ａ3ｂ3+…+ａｎｂｎ（同序乘积和）． 当且仅当a1=a2=…=ａｎ或b1=b2=…=bｎ时，等号成立．

琴生不等式：

设x1，x2，…，xn是函数ｆ（ｘ）在区间（a，b）内的任意ｎ个点，若ｆ（ｘ）为上凸函数，则ｆ■≥■［ｆ（ｘ1）+ｆ（ｘ2）+…+ｆ（ｘｎ）］；若ｆ（ｘ）为下凸函数（凹函数），则ｆ■≤■［ｆ（ｘ1）+ｆ（ｘ2）+…+ｆ（ｘｎ）］． 当且仅当x1＝x2＝…＝xn时，等号成立．

【下期预告】 众所周知，三角函数问题的特点就是公式多、概念多、角与角的转换思路复杂． 在下期内容中，我们会介绍在自主招生考试中需要进一步掌握的三角函数拓展性公式和结论，如三倍角公式以及三角形中的一些基本恒等式．