悄然而来的热点:圆的交汇问题

从近年各省的高考卷来看，与圆的交汇问题成了一个新热点，圆与集合、圆与线性规划、圆与向量、圆与三角函数等内容时常出现在高考客观题中．比如，2011年广东卷（理科）第2题和江苏卷（理科）第14题都考查了集合、直线与圆的相关知识，2010年重庆卷（文科）第15题考查了三圆相交时圆心角的三角函数值的求法，2011年湖南卷（理科）第15题考查了直线与圆的位置关系以及几何概率问题……

在以往的高考试题中，大题通常考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，如今，与圆相关的交汇性问题也直接或间接地出现在了大题中. 2011年，北京、广东、福建、陕西和浙江等地的高考卷解答题中都出现了圆与椭圆、圆与抛物线的交汇问题．同学们应予以重视．

例 （2011年高考数学浙江卷理科第21题） 如图1所示，已知抛物线C1：ｘ2＝ｙ，圆C2：ｘ2+（ｙ-4）2＝1的圆心为点M． （1） 求点M到抛物线C1的准线的距离；（2） 已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

分析：第（1）问比较容易，直接求出圆心和准线即可得解．第（2）问要求直线l的方程，由于直线l过圆心M，所以只需求出直线l的斜率或者点P的坐标即可．但根据现有条件不易直接求出直线l的斜率，因此我们可设点P的坐标为（ｘ0，■），根据圆心到切线的距离等于半径，得出两条切线斜率的关系，再利用ABｌ求出点P的坐标，问题便可迎刃而解．

解：（1） 由题意可得，抛物线C1的准线方程为ｙ＝-■，圆C2的圆心为M（0，4）． 点M到抛物线C1的准线的距离是■．

（2） 设P（ｘ0，■），A（ｘ1，■），B（ｘ2，■） ，则由题意得x0≠0，x1≠x2． kMP=■. 又圆C2的半径r=1，若x0=±1，则过点P只有一条切线与抛物线相交， x0≠±1．

设过点P的圆C2的切线方程为y-■=k（ｘ-ｘ0），即ｋｘ-ｙ-ｋｘ0+■＝0 （①）．则圆心M到切线的距离为■＝ｒ＝1 ．整理得（■-1）ｋ2-2ｘ0（■-4）ｋ+（■-4）2-1＝0 （②）．

设PA，PB的斜率为ｋ1，ｋ2且ｋ1≠ｋ2，则ｋ1，ｋ2是②式的两根， ｋ1+ｋ2＝■，ｋ1・ｋ2＝■.

将①式代入y=x2，得x2-ｋｘ+ｋｘ0-■=0． ｘ0 是此方程的根，由k1=■=■＝ｘ1+ｘ0，k2=■=■＝ｘ2+ｘ0可得ｘ1＝k1-ｘ0，ｘ2＝k2-ｘ0， kAB=■=ｘ1+ｘ2=k1+k2-2ｘ0=■-2ｘ0．

由MPAB ，得kAB・kMP ＝■-2x0■＝-1，解得■=■，即点P的坐标为±■，■，ｋMP＝±■． 直线l的方程为y=±■x+4．

评注：坐标法是解决解析几何题的基本方法，通过建立坐标系，使点与坐标、曲线与方程对应，再用代数方法解决几何问题，这是高考对解析几何问题考查的本质所在．解答圆与抛物线、圆与椭圆的综合问题时，可先根据条件，把问题转化为符号语言求解，最后进行代数计算．

在例题第（2）问的解答中，直线与圆相切可转化为圆心到直线的距离等于半径，ABMP可转化为kAB・kMP＝-1．一般来说，几何法、代数法“双剑合璧”是破解此类问题的利刃．

【练一练】

如图2所示，已知椭圆■+■=1（ａ＞ｂ＞0）和圆O：ｘ2+ｙ2＝ｂ2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点为A，B．

（1） 若∠APB＝90°，求椭圆的离心率ｅ的取值范围；

（2） 设直线AB与ｘ轴、ｙ轴分别相交于M，N，求证： ■+■为定值．

【参考答案】

解：（1） 由题意可知，圆O的半径ｒ＝ｂ，APAO，BPBO． ∠APB＝90°， 四边形OAPB为长方形． 又AO＝BO＝ｂ， 四边形OAPB为正方形，对角线OP=■b． 设椭圆与x轴的正半轴交于点C，结合图象可知，OP2=2b2≤a2=OC2， e2=■≥■，即■≤e

（2） 设P（ｘ0，ｙ0），A（ｘ1，ｙ1），B（ｘ2，ｙ2） ．由APAO 得■・■＝-１，整理得ｘ０ｘ１+ｙ０ｙ１＝■+■．

■+■=b2， x1x0+y1y0=b2. 同理，由BDBO得x2x0+y2y0=b2． 切点弦AB的方程为x0x+y0y=b2．

令x=0，得ON=y=■；令y=0，得OM=x=■， ■+■=■. ■+■=1， ■=■=■. ■+■为定值．