时间：2022-09-30 07:09:05
利用均值不等式求最值是高考的热点问题. 这类问题主要考查“和定积最大，积定和最小”两种情况，即已知变量（正数）的和为定值时，求积的最大值；已知变量（正数）的积为定值时，求和的最小值.在解题时，要遵循“一正（各项或各因式均为正值）、二定（和或积为定值）、三相等（各项或各因式能取到相等的值，即具备等号成立的条件）”的原则.
高考试题一般很少直接考查均值不等式的应用，而是需要同学们通过添项、拆项、换元、构造等方法，对题中的式子进行调整、转化，使其符合应用均值不等式的情形.下面，我们就谈一谈用均值不等式求最值的变形技巧.
一、添项法
如果所求式的形式为a+b且ab不为定值，我们可以考虑使用添项法，给所求式添上仅符号相反的同类项，把它变成a+c-c+b的形式.注意，添项后应符合“积为定值”的情形.
例1 设a>b>0，则a2++的最小值是
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
解析： 因为a2・・=不为“定值”，所以不能直接套用均值不等式求解.观察可知该式的分母为ab，a（a-b），如果添项后，新增的项和原有的项相乘能消去分母，得到定值，就能用均值不等式求解.
a2++=a2-ab+ab++=ab+
+a（a-b）+
≥2+2=4，当且仅当ab=且a（a-b）=时等号成立.结合a>b>0，解得a=，b=. 选D.
评注： 通过添项把原式分为两部分，这两部分各项之积分别为定值，这是求解例1的关键.在使用添项法时，关键是要仔细观察原式，弄明白究竟该添什么项，才能使代数式的积为定值.
一般来说，对于添项后属于“x+型”的求最值问题，我们不妨用添项法一试.
二、拆项法
对于“x+型”的求最值问题，若两项之积为定值，但等号不成立，可通过裂项均分，将项拆开，再和代数式中的其他项重新组合，以满足“一正、二定、三相等”的条件.
例2 函数y=cos2x+ x≠kπ
+，k∈Z的最小值是 .
解析： 乍一看，例2可以用均值不等式直接求解：y=cos2x+≥2=2，即ymin=2.但这种解法是错误的，因为要取到最小值，必须满足cos2x=，即cos2x=，而cosx≤1，所以，用这种解法求解时等号不成立.
拆项得y=+cos2x+
.因为x≠kπ+（k∈Z），所以0
评注： 例2告诉我们，用均值不等式求最值时，既要确保能取到定值，又要确保能取到等号.在例2中，我们之所以会想到把一分为二，是因为cos2x・的积为定值，且此时cosx有解.
三、换元法
一般来说，对于以下三种情况，可用换元法求解：
如果条件中存在或通过化简能得到一个值为1的代数式，可把这个结果为1的代数式代入目标式中，变形后再利用均值不等式求解.
对于多元条件的求最值问题，一般可考虑通过换元化多元为一元，将所求目标化为一元函数，再利用均值不等式求解.
如果目标式含有分式且分母形式复杂，可以考虑用一元未知数替换分母，将分母的形式简化后再求解.
例3 [2011年高考数学浙江卷（文科）第9题] 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
（A） （B） （C） 5 （D） 6
解析一： 例3的条件中虽然没有直接列出一个值为1的代数式，但由x+3y=5xy可得
+
=1，所以可用
+
整体代换“1”.
3x+4y=1・（3x+4y）=
+
・（3x+4y）=・
+
+≥×2×+=5. 当且仅当
=
，
・
+
=1时，等号成立. 结合x>0，y>0，解得x=1，
y
=.选C.
解析二： 例3还可以用x表示y，利用消元法求解.
由x+3y=5xy可得y=，因为x，y为正数，所以由>0可得x>.所以3x+4y=3x+=3x-
++≥2+=5.
当且仅当3x-
=即x=1时，等号成立.选C.
评注： 一般来说，我们首先会想到用消元法求解例3. 但由于例3的条件式x+3y=5xy可以转化为
+
=1，而目标式3x+4y与条件式具有相同的变量x，y，故可考虑使用
+
代换“1”，构造出能用均值不等式求解的情形.
例4 已知a，b都是负实数，则+的最小值是 .
解析： 在例4中，分母a+2b，a+b均为多项式，且・不为定值.若能将分母转化为单项式，则有利于问题的化简和求值.
设m=a+2b，n=a+b.因为a，b都是负实数，所以m
评注： 例4也采用了换元法，它的巧妙之处在于用m替换了分母a+2b，用n替换了分母a+b，把分母从多项式转化为单项式，使化简、计算更简单.
四、构造法
如果条件式和目标式的系数存在一定的联系，可以根据题意对条件式或目标式进行变形，如取倒数、平方、因式分解等，构造出和或积是定值的情形，同时使得目标式与条件式相互对应.
例5 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
（A） 3 （B） 4 （C） （D）
解析： 我们发现，条件式x+2y+2xy=8的系数1，2，2和目标式x+2y的系数1，2具有一定的相似度.如果对条件式进行因式分解，将它变为“积”式（x+1）（2y+1）=9，就可利用均值不等式求出“和”式（x+1）+（2y+1）的最小值.
由x+2y+2xy=8可得（x+1）（2y+1）=9，所以（x+1）+（2y+1）≥2=6，即x+2y≥4.当且仅当x+1=2y+1，
x+2y+2xy=8时等号成立. 结合x>0，y>0，解得x=2，
y=1.所以x+2y的最小值是4，选B.
评注： 由于目标式x+2y的形式为“和”式，所以我们尝试从条件中找出与目标式系数相等的、具有定值的“积”式.对条件式重新进行组合，将它转化为对应的“积”式（x+1）・（2y+1）=9，就能根据“积定和最小”求解.这正是此类问题的思考方向.
有时候，我们可以把目标式看作一个整体，构造一个关于目标式的不等式，通过解不等式求出答案.
例6 设x，y为实数.若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 .
解析： 观察条件式4x2+y2+xy=1与目标式2x+y，我们发现4x2，y2与2x，y存在平方关系，于是想到对目标式平方，得（2x+y）2=4x2+y2+4xy=（4x2+y2+xy）+3xy=1+3xy. 利用均值不等式将“积”式3xy化为“和”式：3xy+1=×2xy+1≤×
2+1，这样就得到了一个含有目标式2x+y的不等式（2x+y）2≤×
2+1，把目标式看成一个整体，即可求出答案.
（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy=×2xy+1≤×
2+1，整理得（2x+y）2≤，当2x=y，
4x2+y2+xy=1即x=
，
y=
或x=
-，
y=
-时，等号成立，所以（2x+y）max=.
评注： 由于目标式2x+y的形式是“和”式，所以我们要利用均值不等式把条件式中的“积”式化为与目标式对应的“和”式，再把目标式看作一个整体，通过一个关于目标式的不等式进行求解.这是解答例6的关键.
如何添项、拆项、换元、构造，是利用均值不等式求最值问题的难点.但实际上，所有的配凑变形技巧都是为了实现“一正、二定、三相等”的目标，只要找准方向，使目标“和”与条件“积”对应，使目标“积”与条件“和”对应，就能顺利解题.