不等式易错点剖析

基本不等式和二次不等式都是C级要求，在高考试卷上必有体现，高考试卷上涉及到不等式相关知识点的试题占了较大的比重.不等式的复习可以从解不等式、用不等式和证不等式三个方面着手，本文试图从这三个方面来探讨和不等式有关的问题.

一、解不等式

我们面临的解不等式包括解一次不等式、二次不等式、分式不等式、指对数不等式、三角不等式，绝对值不等式等，若不等式中含有参数，则必须进行必要的讨论.下面通过几例加以说明.

例1解关于x的不等式：a（x—1）x—2>1（a≠1）

解析：这个分式不等式含有参数a，需要对a进行讨论，讨论的依据包括分解后x的系数符号和根的大小的比较.

解：变形：（a—1）x—（a—2）x—2>0

当a>1时x∈（—∞，a—2a—1）∪（2，+∞）

当0

当a=0时x∈

当a

易错点剖析：对于分式不等式和高次不等式，均可用标根法来处理，分解的目的是找根，但是必须注意分解后的每一个因式中的x的系数必须为正，否则得的答案可能和正确答案完全背离.若出现有参数的不等式求解，必须对参数进行必要的讨论，讨论的依据是因式的系数符号、根的大小比较等.二次不等式的求解可以借助二次函数的图像会更直观.对于指数、对数不等式的处理，一般需要先化同底，后等价变形.

二、用不等式

用不等式处理数学问题也是高考试卷上常见题型，基本不等式是常用的工具，利用基本不等式可以求最值，可以解决一些恒成立问题和有解问题.

例2若关于x的方程4x+a·2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围.

解析：本题是个有解问题，令t=2x（t>0），换元后可以看成关于t的二次方程有解，转化为根的分布问题，但需要进行根的个数的讨论.通过分离变量处理，转化为求最值问题，可以避开繁杂的讨论.

解：令t=2x（t>0），则原方程化为t2+at+a+1=0，变形得

a=—1+t21+t=—（t2—1）+2t+1=—[（t—1）+2t+1]

=—[（t+1）+2t+1—2]≤—（22—2）=2—22

当且仅当t+1=2t+1即t=2—1时取等号

a≤2—22

例3若x，y∈R+且满足4x+16y=1，求x+y的最小值.

解析：本题如果通过4x+16y=1≥24×16xy求出xy的最小值，然后根据x+y≥2xy寻找答案.其间用两次基本不等式，注意到两次等号成立的条件是不一致的，这样就导致最后的答案有误.若配凑“1”并进行“1”的代换，整理后就能凑到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦.

解：由x，y∈R+且4x+16y=1得x+y=（x+y）（4x+16y）=4yx+16xy+20

≥24yx·16xy+20=36，当且仅当4yx=16xy，

即x=12且y=24时，等号成立，所以x+y的最小值是36.

易错点剖析：恒成立问题和有解问题的处理，可以尝试进行变量分离，利用a>f（x）有解a>f（x）min，a>f（x）恒成立a>f（x）max，转化成求函数最值问题，可以有效的避免繁杂的讨论，需要注意的是，不是每一个有解问题和恒成立问题都可以顺利分离变量！

关于基本不等式的应用，需要遵循“一正、二定、三相等”的原则，在具体应用时需要构造正元，凑定，关注等号成立的条件，三者缺一不可.

三、证不等式

利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.一些涉及到和自然数有关的不等式证明也可以考虑用数学归纳法.不等式的证明往往需要较高的技巧，在不等式证明的过程中，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，我们在不等式推理证明的过程中，要理解不等式证明的数学思想，掌握一些常用的技巧.

例4设a、b是非负实数，求证：a3+b3≥ab（a2+b2）.

解析：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力.

证明：由a、b是非负实数，作差得

a3+b3—ab（a2+b2）=a2a（a—b）—b2b（a—b）

=（a—b）[（a）5—（b）5]

当a≥b时，a≥b，从而（a）5≥（b）5，得（a—b）[（a）5—（b）5]≥0；

当a

所以a3+b3≥ab（a2+b2）.

易错点剖析：证明不等式常用方法是比较法，比较法又分为作差比较和作商比较，理论依据分别是a>ba—b>0和b>0，ab>1a>b，作差比较的要点是作差后要对所作的差进行因式分解，分解到每个因式的正负比较明显为止，作商比较的时候务必要注意被除式的符号.

例5已知a>1，λ>0，求证：loga（a+λ）>log（a+λ）（a+2λ）

解析：由题意，a>1，λ>0，不等式两侧都是正数，考虑到作差后两个对数不是同底，作差后操作比较困难，故可以尝试作商处理.

证明：log（a+λ）（a+2λ）loga（a+λ）=log（a+λ）（a+2λ）·log（a+λ）a

≤[log（a+λ）（a+2λ）+log（a+λ）a2]2=[log（a+λ）a（a+2λ）2]2

=[log（a+λ）（a2+2aλ）2]2