“让学引思”:初中数学课堂的新视点

摘 要 “让学”是为了指导学生自主学习、独立思考，训练学生主动学习、学会学习、善于学习的学习力；“引思”是为了引导学生学会审题、学会分析、学会联想，学会信息整合，发展学生学会思考、善于思考、勤于思考的思考力。课堂适时让学、引思，既能挖掘学生的学习潜能，又能增强学生的数学悟性。

关键词 让学 潜能 引思 思考力 会学善思

一、让学――学生才是课堂的真正主人

“让学”是德国哲学家海德格尔提出的教学理念，它与新课程倡导的“生本”教学理念是有异曲同工之妙。“让学”是指在某一时段老师安排学生进行自主学习的课堂行为。有问题有学标，这种学习环节有别于传统的常态教学或导学，更强调发挥学生的主体能动性和创造的积极性。

1.适时让学，培养学生的自主行为能力

一课，哪些时段可以由学生自主学习初步达成学习目标呢？可以在老师的课堂引入后利用10分钟时间完成自主探究新知；也可以在师生共同探究新知后，自主尝试完成例题学习；还可以在问题的拓展延伸中，让学生在小组合作中交流、讨论，共同完成同级异式训练。

例1，第10章“分式”（苏课版八下）10.3“分式的加减”。按照以前的教学方式，老师为学生创设教学情境：

教师的意图是引导学生通过类比的学习方法获得同分母方式加减运算法则。笔者认为可以打破常规，作课堂“让学”设计：先请四名同学到黑板前做如下小题，通过批阅评价复习10.2“分式的基本性质”中的约分和通分的概念。

接下来，老师在黑板上写出自主学习内容（时间预设10～15分钟）：

（1）类比分数的加减法则探索分式的加减运算法则；

（2）阅读学习例1，例2；

（3）自主训练108页练习1；

（4）在探索分式的加减运算法则过程中遇到了哪些困难？

至此，本节课前期的让学环节就比较完整地呈现出来了。最后老师把同学们在解题中发生的错误以及学习中遇到的困难罗列在黑板上，以备师生共同分析解决。

设计意图：同学们已经有了分式的基本性质、约分和通分的知识储备，学习本节内容就显得比较容易，有一定学习经验的学生出现问题也可以尝试自行解决。

2.关注主体，发展学生的合作交流能力

作为课堂的主体，学生应该是课堂上最聚焦的主角，如自主阅读、动手实践、思考质疑、合作交流等，老师都应该鼓励学生积极参与，并在有效的时间内获求最佳发展。通过下面的纸片折叠问题训练，可以培养同学们的合作学习能力。

学习要求：

（1）自主探究（可动手实践折叠纸片）；

（2）画出对应图形，进行相关计算；

（3）尝试合作，并交流相关结论。

例2，如图1，在RtABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P在AC上移动，将纸片PCB部分沿PB折叠，得到点C的对应点D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程中对应点D所经过的路径长是 。

课堂上笔者观看了学生的折纸情况，又收集了部分学生的所画图形（如图2、图3），发现很多学生的探索思路是清晰的：通过三次折叠寻找三个对应的D点（包含特殊点）；根据点D的分布情况，断定D点所经过的路径是圆弧；根据相关条件，计算出弧长就是D所经过的路径长。

基于教师对学生的信任，在课堂教学中经常设计“让学”环节，可以给学生提供先自主探究后合作交流的良好契机，体现了学习方式的多元化，凸显了课堂的主体性，培养了学生合作学习、交往学习的能力。

3.培养自主，挖掘学生的数学学习潜能

脑科学的研究表明，人脑的常态意识约为10%，潜在意识约占90%，说明人的思维潜能是巨大的。“每一个孩子都是一座金矿”，他们都有极大的潜能，都有各自的智能组合[1]。在教学中我们涉及到的规律问题、新概念问题及初高中衔接问题等，都能有效地激发学生的数学学习潜能。

例3，我们将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（如圆的直径就是它的“面径”）。已知一个矩形的两边分别是3和4，则它的“面径”长x范围是 。

如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”。当“协调边”为6时，它的周长为 。

以上两题，虽然以“新概念”的方式呈现，但是编者没有为学生设计审题障碍，同学们只要根据题意画出图形，便能直接求解，因为学生的大脑有探索好奇和模仿实践的超大潜能。

在“让学”环节中，当学生出现难以解决的问题时，教师可以用适当的方式进行“补白”[2]，以解决因思路断档而产生的停滞现象，从而使学生能够继续保持自主学习的信心和热情。教师能否通过适当的方法“补白”，反映教师对学生的关爱度及教学智慧。学生在自主学习的过程中，要学会自觉体验、感悟、总结，形成适合自己实际的学习方法，激发出学习的原动力，才能实现自主学习[3]。

二、引思――思维才是数学的核心灵魂

数学离不开思维，数学是思维的体操，思维是数学的灵魂。“引思”是指老师引导学生对问题进行分析和思考，包括如何审题、寻找解决问题的入口，猜想、论证和总结解题经验等。教师设计课堂引思，是为了及时对学生激思，使学生会思、善思。只有一定深度的数学思考才能上升为高阶的数学能力――分析和创新。

1.顺藤摸瓜，呈现数学思维的延展性

数学问题中的信息量较多时，有时只要借助一两个信息就能因势利导，这种思考问题的方法俗称顺藤摸瓜，由此及彼式展开联想，张开思维的翅膀，可以自由“任性”地寻找下一条线索。

例4，如图4，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC。

（1）如图①，过点A作AFAB，并截取AF=BD，B接DC、DF、CF，判断CDF的形状并证明；

（2）如图②，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个定值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由。

问题（1）根据三角形全等的有关知识容易判断CDF的形状是等腰直角三角形。问题（2）图形中无明显全等三角形，条件CE=BD又不好直接运用，这时应该怎么思考呢？老师要引导学生：问题（1）中的解题思路对问题（2）往往是有启发的，甚至解题方法是可以迁移延用的，所以可以从构造三角形全等进行尝试，这种由此及彼、顺向思考的联想学习法也是一种常用的数学解题策略。

2.倒扒鱼鳞，借力数学思考的可逆性

如果一味地采用正向思考方式，可能出现双线并行方向不明，此时如果尝试逆向思考，即要想A成立，就必须B成立，要想B成立，C必须满足什么样的条件，这种思考方法俗称倒扒鱼鳞。

例5，如图5，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若SBDE∶SCDE=1∶3，则SDOE∶SAOC的值为 （ ）

先逆向思考：要求SDOE∶SAOC的比值，只需DE∶AC的值，借助DE∥AC的信息，DE∶AC=BE∶BC。再顺向生成：由SBDE∶SCDE=1∶3得到BE∶EC=1∶3，进一步得到BE∶BC=1∶4，此时刚好呼应对接。再运用性质“相似三角形的面积比是相似比的平方”，选出（D）。

“倒扒鱼鳞”法通常是与“顺藤摸瓜”法相结合的，特别是信息量较大的题，“倒扒鱼鳞”法应优先考虑。备课时老师在解题过程中遇到的曲折和错误不能随演算纸一同丢弃，应适当地与学生分享其中的艰辛与快乐。让学生明白顺逆自如、左右逢源绝不是一日之功，是在摸索和碰撞中成长的一种慢过程。

3.培养悟性，增强数学思考的深刻性

悟性是指对事物的感知力、思考力、洞察力。学习数学的悟性指学生在数学学习的活动过程中，对所研究的数学问题，凭借类比、迁移、联想、想象等思维活动，触发灵感，引发领会、理解，继而解决问题的一种能力。根据美国教育学家布鲁姆认知理论，这种对问题的理解能力和分析能力属于高阶数学思维。

例6，图6，AC是矩形ABCD的对角线，O是ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG。点F、G分别在边AD、BC上，连结OG、DG。若OGDG，且O的半径长为1，则下列结论不成立的是 （ ）

老师：题中有数据，你们能猜测到什么信息呢？

学生1：我们凭直觉相信图中∠ACB为30°。

老师：你怎么知道的？

学生1：你教过我们的，可以借助数感、图感进行问题直观猜想。

老师：四边形ABCD是矩形，根据图形，你能得到什么结论呢？

学生2：对边平行且相等，四个角为直角。

老师：O是ABC的内切圆，且半径长为1，你能想到什么关系量呢？

学生3：直角三角形内切圆半径与其三边关系：（AB+BC-AC）=1。

老师：图中有折叠变换，且OGDG，你又能想到什么呢？

学生4：折叠变换联想到图形全等，如DFG≌OFG，DGC≌OEG。

老师：本题从选择支看，都是判断两条线段和与差的数量关系，因此可以根据你们的解题经验或者灵感，继续寻找线段关系，比如运用三角形全等、相似等方法。

学生5（我班的数学王子）：老师，通过构造辅助线，连接OM（M为切点），我又发现一对三角形全等：OMG≌GCD，这样可以得到GC=OM=1，MG=DC=AB，所以BC=2+AB，再联立另一个关系式（AB+BC-AC）=1，看是否得出其他结论？

老师：这位同学凭借对数学的悟性，巧妙打开灵感之窗，发现一条通往山顶的无名小道，只要你们沿着这条小道不放弃前行，你们将会欣赏到很多的美景。

本题图形复杂信息量大、审题量大、计算量也大，是一道训练学生综合分析能力和数学思维悟性的好题。首先通过排查、搜索信息寻找解决问题的入口，然后是通过三角形全等以及勾股定理的有关知识对C、D进行判断，最后再次构造直角三角形，计算DF长度，判断A、B是否正确。这种思维追踪体现了数学思考的深刻性和学生良好的思维能力。

在课堂教学中教者用心设计“让学引思”活动环节，一定可以逐步提高学生的数学核心素养――自主学习能力和数学思考能力。值得注意的是，部分同学如果长期没有达到预期的学习目标，也会产生消极认知，因此教师应为数学学习中习得性无助感进行教学干预[4]，努力激发学生对问题探究的好奇心，培养学生学习的主动性和参与合作的积极性，把教师的“让学引思”转变为学生的“会学善思”。

参考文献

[1] 沈茂德.我的教育乌托邦[N].江苏教育报，2016-04-08.

[2] 张克玉.一次优秀课展示中的问题分析与思考[J].中学数学教学参考，2016（1-2）.

[3] 董林伟.对李庾南老师教学改革实践的感悟[J].江苏教育，2013（3）.

[4] 皮磊.数学学习中习得性无助感的影响因素研究[J].数学教育学报，2008（4）.【责任编辑 郭振玲】