突破中考角平分线类型题之策略研究

角平分线在几何中占有重要地位,是解决许多问题的桥梁和纽带.角平分线把一个角分成相等的两个部分,其“轴对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质,而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形,也常在解题中给我们带来方便.[TPxm-1.tif,Y,PZ][TS(][JZ]图1[TS)]

例1 如图1,在平行四边形ABCD中,线段AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E,F,线段AE,BF相交于点M.

(1)试说明：AEBF；

(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以说明.

(2)有结论：DF=CE,理由如下：

在DAE中,∠DAE=∠BAE=∠DEA,所以DE=DA．

同理有CF=CB.而AD=BC,所以DE=CF,从而：DF=CE．

评析 本题利用角平分线与平行线结合构造出等腰三角形解决问题.

例2 已知抛物线y=ax2+bx与x轴的一个交点为B,顶点A在直线y=3x上,O为坐标原点,若OAB的内切圆半径为1,求抛物线的解析式.

解 不妨先研究a

因为点A在直线y=3x上,所以设A(x,3x),在RtACO中,tan∠AOC=AC[]CO=3|x|[]|x|=3,所以∠AOC=60°．

设AOB的内心为I,连接IO．

在RtICO中,IC=1,而∠IOC=30°,所以OC=3,AC=3,即A(3,3),设y=a(x-3)2+3,过原点(0,0),解得a=-1,即：y=-x2+23x；当a>0时,同理可求另一条抛物线的解析式为：y=x2+23x．

评析 本题利用三角形的内心是角平分线的交点,再利用角平分线的定义,转化到直角三角形殊角解决问题.

评析 由于题中有角平分线CD,用定义不能直接突破,但可联想到“角平分线上的点到角的两边距离相等”这一性质,所以通过添加辅助线就解决了这一综合性问题.

例4 在直角坐标系中,点A的坐标为(12,0),ACx轴,直线y=2[]4x+32,与x交于点B,与直线AC交于点C,与y轴交于点D.如果M分别与直线AC、BC相切,并且与线段AD也相切,求点M的坐标.

解 当x=0时,y=32,即OD=32．当y=0时,x=-12,即OB=12．因为AO=BO=12,AC∥y轴,所以BD=CD=AD,即：ADC是等腰三角形．

作DE∥x轴,作∠ACB的角平分线CF,分别交DE、y轴于点M1、M2,M1、M2就是所求M的圆心．当x=12时,y=2[]4×12+32=62,即AC=62,因为AC∥y轴,CM2平分∠ACB,所以DM2=CD=1[]2BC=1[]2242+(62)2=92,所以OM2=AC=62,即M2(0,-62)．由OFM2与AFC全等知：OM=AM=6,BM=18,因为DE∥x轴 所以DM1[]BM=CD[]BC,即：DM1[]18=1[]2,所以DM1=9,故M1(9,32)．

所以M分别与直线AC、BC相切,并且与线段AD也相切,圆心坐标为M1(9,32),M2(0,-62)．

评析 本题的关键在于掌握与三边相切的圆的圆心是三角形三个内角或外角平分线的交点,这样就确定了圆心的位置,然后利用相似或全等的知识,问题就迎刃而解了.

基于以上思考与分析,大家对角平分线解决综合应用问题应有一定的认识,对角平分线的定义及性质的应用进行灵活、多途径整合,不仅能构造出一些有价值的结论或新题,更有利于完善学生的思维结构,培养学生的思维能力.

作者简介:

熊猛,四川巴中人,1972年10月生,中学数学高级教师,现为学校教学处主任.主要研究初中数学教学.曾获深圳市先进教育工作者、优秀班主任等荣誉称号,在各级各类刊物发表文章5篇,多次参与省、市、区级课题研究.