如何将数学思想渗透到初中数学教学中

摘 要：初中数学课程内容是数学知识与数学思想方法组成的有机整体。《义务教育数学课程标准》指出：“初中数学的基础知识主要是代数、几何中的性质概念、法则公式、公理定理以及由其深层次内容所反映出来的数学思想方法，数形结合、分类讨论和化归等数学思想方法蕴涵在数学知识的学习过程中。在教学过程中，强化数学思想方法的渗透，应成为数学教师的自觉行为，也是数学课程改革的导向之一。

关键词：数学教学；数形结合；分类讨论；化归思想

一、数形结合入堂奥

华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”可见，数形结合可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。人们一般把代数称为“数”，而把几何称为“形”，“数”与“形”从表面看是相互独立的，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。

在初中数学教学中，最典型的数形结合就是借助图形研究函数性质。函数图象既具有特殊的几何特征，又具备数量特征，将二者紧密结合，方有助于理解题意，探究解题思路，检验解题结果。

例题：如右图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=■的图象交于A（2，4）和B（-4，m）两点。

（1）求这两个函数的解析式。

（2）求AOB的面积。

（3）根据图象直接写出，当y1>y2时，x的取值范围。

分析：解决此问题的关键是利用图象的位置，反映相应的自变量和函数值的范围，让学生观察图象的特点，由图象上的A（2，4）决定y1、y2的解析式，求AOB的面积比较困难，激发学生由C点线段想到AOB面积是AOC与BOC的面积和，就化难为易，得心应手。

解：（1）点A（2，4）在反比例函数y2=■的图象上，由反比例函数的概念y=■可变形为xy=k得a=2×4=8，

反比例函数的解析式为y2=■。

点B（-4，m）也在反比例的图象上，

当x=-4时，m=-■=-2。

直线y1=kx+b经过A（2，4）和B（-4，-2），

2k+b=4-4k+b=-2解得k=1，b=2。

一次函数的解析式为y1=x+2。

（2）设直线y1=x+2与x轴交点C（如上图）

则C点的y1=0时，x+2=0，x=-2。

点C（-2，0），|OC|=2是两三角形的底边。

SAOB=SAOC+SBOC=■×2×4+■×2×2=6。

由图象可知，当x>2或-4

二、分类讨论找规律

在数学教学中，分类讨论的思想无处不在，无时不用。如，对于有绝对值的代数式，当去掉绝对值符号时，便要把代数式分大于0、等于0、小于0三种情况加以讨论；在解含有字母系数的方程和不等式时，也要对字母的范围进行讨论。

方程知识是初中数学知识的重点和基础，涉及一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程、分式方程等。这些不同类型的方程之间又可以通过降次、消元和去分母等方法互相转化，解决这类问题，只有审清了题意，全面、系统地考虑问题，才能确定出各种可能情况的分类框架，分类时也才能做到条理清楚、不出现漏解的现象。

例题：已知关于x的方程（m+■）xm2-1+2（m-1）x-1=0

（1）m为何值时，它是一元二次方程；

（2）m为何值时，它是一元一次方程。

分析：根据一元二次方程和一元一次方程的定义，确定m的值。

（1）m2-1=2m+■≠0解得m=■。即当m=■时，原方程是一元二次方程。

（2）若使原方程为一元一次方程，则m的情况分三种情况讨论：

①m+■=2m-1≠0解得m=-■

②m2-1=1m+■+2（m-1）≠0得m=±■m≠■（2-■）解得m=±■

③m2-1=02（m-1）≠0得m=±1m≠1解得m=-1

当m=-■或±■或者-1时，原方程是一元一次方程。

讨论关于x的方程是一元一次方程或一元二次方程的问题，关键要考虑两点：一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数不等于0，要进行严密的思考，做到不重复不遗漏。

分类讨论思想涉及初中数学的全部知识点，因此，加强分类讨论思想的训练，培养学生分类的习惯，有利于学生形成思维的条理性、缜密性和科学性，有利于学生形成良好的思维品质，降低数学知识的理解难度，提高学习效率。

三、化归思想见魅力

在处理问题时，把那些待解决或难解决的问题，通过某种转化归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答，诸如将未知向已知化归，复杂问题向简单问题化归，实际问题向数学问题化归等。

例题：若（■-a）2与b-1互为相反数，则■的值为 。

分析：由相反数的性质可知（■-a）2+b-1=0，由非负数性质得■-a=0，b-1=0，得a=■，b=1，所以■=■=■+1。

初中代数教学内容中处处渗透着化归思想，有理数的运算法则是小学四则运算的拓展，分式方程、无理方程和简单的高次方程是一元一次方程、一元二次方程的引申，平面直角坐标系是数轴的推广……

在方程的教学中，化归思想表现得更是突出。如，x=a是一个最简单形式的方程，同样也是一个方程的解，那么，由此可以认为：解方程的过程，就是把已知方程通过同解变形化为x=a的过程，数学思想是隐含在数学知识之中的，且随着每一章节知识点的不同，隐含其中的数学思想也不同。

可见，教师有意识地渗透数学思想方法的首要条件是教师要从数学思想方法的角度对教材进行系统的分析研究，发现和把握教材内容中所隐含的数学思想方法。教师必须在数学思想的基础上去设计教学过程，在讲课、评课、辅导等环节中都要有意识地运用数学思想方法，并注意各种数学思想方法的关联，使学生逐步了解、领悟、掌握数学思想方法，这样学生才会越学越想学，越学越爱学。

参考文献：

[1]王文槐.中考集训.甘肃教育出版社，2008.

[2]王后雄.教材完全解读.中国青年出版社，2009.

（作者单位 甘肃省临夏县三角初级中学）