类比联想、突出主线

【摘要】 在新课程理念中，数学教学除了强调数学思想、方法外，还强调数学问题的背景和问题解决的思维过程。抽象函数是没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数。抽象函数的问题具有典型的特征――抽象性，抽象函数问题的背景丰富深刻，是一个教学难点。教学中要抓住抽象函数的特征进行类比、联想，根据抽象函数的性质，将抽象函数“具体化”、 “直观化”、或对抽象函数进行赋值，遵循学生的认知规律，展现思维过程，让学生在问题解决的过程中收获成功，体验快乐。

【关键词】 抽象函数 主线 类比 联想

【中图分类号】 G632.0 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）05-071-02

这种解法看起来相当简练，其实思维上是有相当难度的。当我坐在教室里时，我一直渴望授课教师阐明为什么用2a，考虑f（x+2a）的理由是什么，有没有策略性的思路，解题的方法是否可以推广，但一直没有等到教师的讲解。走出教室，我和听课学生一样感觉累，累在哪？主要是在思维上感觉很累，在累的过程中还伴随着疑问，解题过程是怎么想到的，学生以后遇到类似的题目该怎么处理，他们会处理吗？我觉得这节课没讲完也没讲透。这让我想起了章建跃博士的一篇文章。章建跃博士在《中学数学课改的十个论题》一文中的第五个论题是：怎样才是真正“教完了”。 教完了不是指课堂上教师把内容讲完了，而是应该以学生是否理解教的内容为标准，以学生是否达到了课标规定的教学要求，特别是学生达到的数学双基理解和熟练水平为标准。如果给学生吃“压缩饼干”，解题教学搞“跳跃式一步到位”，在学生没有必需的认知准备时就让学生“欣赏”高难度的题目，只能把学生教糊涂。这促使我对抽象函数的教学进行了一些思考。

我们把没有给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称作抽象函数。一般形式为y=f（x），有的还附有定义域、值域等，如： y=f（x）， （x1）.函数知识贯穿于中学数学始终，它是高中数学最重要的内容之一，而抽象函数是高中函数部分的难点，也是高等数学函数部分的一个衔接点。新教材多处出现了这类问题，如人教版数学必修一P39习题1.3B组第3题、P45复习参考题B组第6题等。

由于抽象函数的问题通常将函数的性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）和图像集于一身。这类问题既考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、又考查了对一般和特殊关系的认识等数学的综合能力。学生在遇到这类问题时，往往会感到不知从哪入手，正确率较低。由于抽象函数的独特“魅力”，近几年高考题中不断出现抽象函数问题。解决抽象函数问题要求学生有扎实的基础知识，较高抽象思维能力和综合应用数学能力，所以，抽象函数问题是一个教学难点。

第一条主线，将抽象函数“具体化”，抽象函数也是函数，教师可以引导学生进行类比和联想，将抽象函数具体化，即通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找与之相匹配的具体函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题。抽象函数常见的特殊模型如下表：

可得f （x）在[a，b]上单调递减，从而在[a，b]上有最小值f（b）.

从上例可看出，有些抽象函数如果能从它的“背景”下手，根据题中抽象函数的性质、特征，通过类比、联想，猜想出它可能为某种基本函数，再借助函数的一些性质，就可获得解题思路。

第二条主线，将抽象函数“直观化”。 抽象函数给人的第一感觉是抽象的，“直观化”就是“化抽象为直观”。函数的图像、函数的示意图的直观特点有利于减轻学生的思维负担，可以在一定程度上克服抽象函数对应关系的抽象性。从而将抽象的函数问题转化为直观的函数图像问题，这就是我们常说的“以形助数”。在函数的学习过程中，函数与函数的图像是“形影不离”的，“以形助数”作为“数形结合”的关键一环，对学生来说有一定的心理基础和学习经验。我们不妨来看下面的简单例题。

案例2. 如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f（x）在区间[-7，-3]上是（ ）

A. 增函数且最小值为-5

B. 增函数且最大值为-5

C. 减函数且最小值为-5

D. 减函数且最大值为-5

分析：根据题意画出满足条件的示意图1，从图中很容易得出选B.

一般地，一个抽象函数的示意图不是唯一的，通常有很多，有的只需根据题意作出几个孤立的点即可。通过符合题意的示意图，可以使抽象变形象，有利于观察、比较，减少推理的环节，减小计算量，甚至有些问题根据图形就能直接得结果，如上面的案例2.

第三条主线，抽象函数既然是函数，就可以尝试采用解决一般函数问题的方法来解决抽象函数问题。最常见的解题方法是利用函数的性质解题。函数的特征常常通过它的性质反映出来的，抽象函数也一样，如果充分利用题设条件的函数性质，运用正确的数学方法，有些抽象函数问题很容易得到解决。

案例3.（2010安徽卷理4）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，求f（3）-f（4）的值。

分析：3=5-2，4=5-1，f（3），f（4）分别与f（2），f（1）有关，利用f（x）是R上周期为5的奇函数进行转换得到f（3）-f（4）=f（3-5）-f（4-5）=f（-2）-f（-1）=- f（2）+f（1）=-2+1=-1.

在解决函数问题中，最常利用的函数性质有函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等。

第四条主线，有些抽象函数给出了函数的关系式，如f（x+y）=f（x）f（y）等，这类问题可以采用赋值迭代的方法处理。即将已知函数所满足的性质，一般性的条件，赋予特殊的值，通过变量代换，推出函数所满足的其它性质，获得问题的解。

案例4.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）=0，对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（6） 成立，则f（2007）= .

分析：f（-3）=0，取x=-3代入f（x+6）=f（x）+f（6）得f（6） = 0，f（x+6）=f（x），周期为6，f（2007）=f（3）=0.

总之，新课程实施以来，数学教学除了强调数学思想、方法外，还强调数学问题的背景和问题解决的思维过程。抽象函数问题的背景丰富深刻，是很好的探究素材，教学过程中要遵循学生的认知规律，展现思维过程，注重对解法和知识本质的探究。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 章建跃.《中学数学课改的十个论题》.2010年第4期. 《中学数学教学参考》.

[2] 刘小燕.《有关抽象函数的全面探析》.2010，8.《中学课程辅导教学研究》.