用类比法和鉴别法破解函数中的易混问题

我们在数学教学中，每学完一章，对学生中容易出错的问题，都归纳总结在一起，便于用类比、鉴别的方法破解，效果不错。现将函数这一章中的几个问题总结如下，以期对同学们的学习有所帮助。

一、复合函数的定义域

1.若f(u)的定义域为［a，b］，则f的定义域是由不等式a≤g(x)≤b的解的范围。

2.若f定义域为［a，b］，则f(x)的定义域即为u=g(x)在x∈［a,b］上的值域。

例1 ①若f(x)的定义域为［-1，1］，求f(x+1)的定义域。

②已知f(2x+1)的定义域为［-1,1］，求f(x)的定义域。

③已知f(2x+1)的定义域为［-1,1］，求f(3x-2)的定义域。

解：①f(x)定义域为［-1，1］，f(x+1)定义域由不等式-1≤x+1≤1决定，-2≤x≤0，即f(x+1)定义域为［-2，0］。

②f(2x+1)定义域为［-1，1］，令u=2x+1，显然-1≤u≤3，f(u)定义域为［-1，3］，即f(x)定义域为［-1，3］。

③f(2x+1)定义域为［-1，1］，由②知，f(x)定义域为［-1，3］，f(3x-2)定义域由不等式-1≤3x-2≤3决定，13≤x≤53，即f(3x-2)的定义域为［13，53］。

二、已知函数定义域、值域为R，求参数

例2 ①设m为常数，如果y=lg(mx2-4x+m-3)的定义域为R，求m的取值范围。

②设m为常数，如果y=lg(mx2-4x+m-3)的值域为R，求m的取值范围。

解：①对x∈R都有mx2-4x+m-3>0。

当m=0时显然不成立；当m≠0时，需m>0，Δ=16－4m(m－3)4。

②要使函数y=lg(mx2-4x+m-3)的值域为R，则需要真数N=mx2-4x+m-3的值域至少包含大于零的实数。

当m=0时，N=-4x-3∈R，显然成立，当m≠0时，m>0，Δ=16－4m(m－3)≥0，解之，得0

综上所述0≤m≤4。

三、恒成立问题

例3 ①对任意x∈［-1，1］，函数y=x2+(a-4)x+4-2a恒大于零，求实数a的取值范围。

②对任意a∈［-1，1］，函数y=x2+(a-4)x+4-2a恒大于零，求实数x的取值范围。

解：①函数是以x为主元的二次函数，且在［-1，1］上恒大于零，则Δ=(a+4)2-4(4-2a)=a2≥0，

方程x2+(a-4)x+4-2a=0的两根都大于1或都小于-1，f(1)>0且f(-1)>0，解之，得a

②函数是以a为主元的一次函数，且在给定区间［-1，1］上恒大于零的问题，则原式为化为f(a)=(x-2)a+x2-4x+4，则f(a)在a∈［-1，1］上恒大于0，f(1)=(x－2)+x2－4x+4>0，f(－1)=(2－x)+x2－4x+4>0，

x>3或x

四、函数的周期性

1.如果y=f(x)满足f(T1+x)=f(T1-x)，且f(T2+x)=f(T2-x)，（T1，T2是不等的常数），则y=f(x)是以2（T2-T1）为周期的周期函数。

2.如果奇函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T≠0)，则函数y=f(x)是以4T为周期的周期函数。

3.如果偶函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T≠0)，则函数y=f(x)是以2T为周期的周期函数。

4.如果偶函数y=f(x)满足f(x+T)+f(x)=m(T≠0，m为常数)，则y=f(x)是以2T为周期的周期函数。

例4 已知函数f(x)是R上的偶函数，且满足f(x+1)+f(x)=1，当x∈［1，2］时f(x)=2-x，求f(-2003.5)的值。

解：f(x+1)+f(x)=1，f(x+2)+f(x+1)=1，f(x+2)=f(x)，f(x)是以T=2为周期的周期函数，f(-2003.5)=f(-2003.5+2×1001)=f(-1.5)=f(1.5)=2-1.5=0.5。

例5 已知奇函数f(x)对一切x∈R都有f(-x)-f(6-x)=0，若f(m)=-f(2002)，m∈［6，12］，且f(x)在x∈［6，12］上单调，求m的值。

解：由于f(-x)-f(6-x)=0，则f(-x)=f(6-x)T=6为y=f(x)的周期。f(m)=-f(2002)=-f［6×333+4］=-f(4)=f(-4)=f(-4+2×6)=f(8)m∈［6，12］x∈［6，12］，f(x)上单调，则m=8。

五、函数图象本身的对称问题

1.函数y=f(x)满足f(T+x)=f(T-x)(T为常数)，则y=f(x)关于x=T对称。

2.函数y=f(x)满足f(x)=f(2T-x)(T为常数)，则y=f(x)关于x=T对称。

3.函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)关于x=a+b2对称。

4.函数y=f(x+a)为偶函数，则y=f(x)关于x=a对称。

例6 已知y=f(x)在（-∞，1）上递增，且f(3-x)=f(5+x)，试比较f(-1)与f(a2+6a+18)的大小。

解：f(3-x)=f(5+x)，y=f(x)的对称轴为x=4。f(x)在（-∞，1）上单调递增，f(x)在(7，+∞)递减，f(-1)=f(4-5)=f(4+5)=f(9)a2+6a+18=(a+3)2+9≥9，f(a2+6a+18)≤f(9)=f(-1)。

（作者单位：重庆市潼南中学1重庆合川瑞山中学2）