高考中的三角恒等变换问题

高考说明中对三角函数有较高要求，常结合三角变换考查三角函数运算、化简、求值、证明.在三角函数的计算与证明过程中，分析已知条件与待求问题中的角之间的关系，进行合理的变角代换，常常是解决问题的关键.本文举例说明三角恒定变换中常考题型，供学生参考.

一、例题解析

题型一 三角函数式的化简问题

例1 已知3π14

分析：先化简所求式子，在观察该式与已知条件的联系，从而找到解题的思路.

解析：因为tanα+11tanα=-1013，所以3tan2α+10tanα+3=0，

所以tanα=3或tanα=-113.

所以5sin2α12+8sinα12cosα12+11cos2α12-812sin（α-π12）

=5·1-cosα12+4sinα+11·1+cosα12-81-2cosα

=8sinα+6cosα1-22cosα=8tanα+61-22=-5216.

评析：已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：①先化简所求式子；②观察已知条件与所求式子之间的关系（从三角函数名及角入手）；③将已知条件代入所求式子，化简求值.

题型二 三角函数式的求值问题

例2 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.

解法1：因为sin2α=2sinαcosα，则

原式=1124sin20°23sin20°cos20°cos40°cos80°=1124sin20°·sin160°=1124.

解法2：设x=cos20°cos40°cos60°cos80°，y=sin20°sin40°sin60°sin80°，则xy=（cos20°cos40°cos60°cos80°）（sin20°sin40°sin60°sin80°）.

所以xy=1124sin40°sin80°sin120°sin160°=1124sin40°sin80°sin60°sin20°=1124y，

所以x=1124.

评析：上述解法1是根据其特点采用同乘以、除以一个三角函数式，使其构成二倍角公式sin2α=2sinαcosα的形式，从而达到求值的目的；解法2中根据所求式子的特点，设出原式的“对偶式”，通过作积xy，使用二倍角公式sin2α=2sinαcosα，然后通过解方程求出x.

题型三 三角函数的给值求值问题

例3 （2008年南京二模）已知：0

分析：条件中给出β-π14、α+β对应函数值，观察角α+π14与角β-π14、α+β的关系，不难发现α+π14=（α+β）-（β-π14），借助两角和（差）的余弦公式即可求出cos（α+π14），解题时应注意角的范围.

解析：因为0

所以sin（β-π14）>0，cos（α+β）

因为cos（β-π14）=113，sin（α+β）=415，

所以sin（β-π14）=2213，cos（α+β）=-315，

所以cos（α+π14）=cos[（α+β）-（β-π14）]=82-3115.

评析：解决此类问题的关键是找到角与角之间的关系，利用角的和、差与倍、半三角函数公式变“目标角”为“已知角”，同时，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.

题型四三角函数的给值求角问题

例4 （2007年四川高考）已知cosα=117，cos（α-β）=13114，且0

分析：要求角β，只需求出角β对应的三角函数值即可，条件给出cosα=117，cos（α-β）=13114，观察发现β=α-（α-β），利用两角和（差）的正、余弦公式即可求出β，解题时注意角的范围.

解析：因为0

所以sin（α-β）=1-cos2（α-β）=33114.

由β=α-（α-β）得：

cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=112.

又因为0

评析：给值求角问题的一般解题步骤包括三个方面：（1）求出角的某个三角函数值；（2）确定角的范围；（3）根据角的范围写出所求角的值.已知三角函数值求角，选函数时，可按照以下原则：①若角的范围在（0，π12）、（π，3π12）时，选正、余弦函数皆可；②若角的范围在（-π12，π12）时，最好选正弦函数；③若角的范围在（0，π）时，最好选余弦.

高考说明中对三角函数有较高要求，特别对两角和（差）的正弦、余弦和正切要求达到C级，是高考必考内容之一.三角恒等变换贯穿于整个三角函数部分，它是三角函数运算、化简、求值、证明过程中必须用到的解题技巧，三角变换是解题的核心.三角变换中角是主元，解题时应注意观察角之间的和、差、倍、半关系，对结论中的角与条件中的角进行优化组合.同时，在解题时，还要注意角的范围对三角函数符号及函数值的影响。