功能梯度圆柱壳非线性振动中的模态相互作用

摘要： 借助Hamilton动力学研究了功能梯度薄壁圆柱壳非线性自由振动中的模态相互作用和能量交换现象。采用幂律分布规律描述功能梯度材料的等效材料参数，基于Donnell非线性壳体理论给出了功能梯度薄壁圆柱壳的动能和势能表达式；由Hamilton方程得到了无限长功能梯度薄壁圆柱壳双模态自由振动的控制方程。通过数值积分和Poincaré映射讨论了系统的模态相互作用和能量交换现象，揭示了系统的复杂动力学行为；同时也给出了功能梯度材料的梯度指数对系统发生分岔的能量分岔点的影响。关键词： 非线性振动； 功能梯度材料； 圆柱壳； 模态相互作用； 混沌

中图分类号： O322； O343.7文献标识码： A文章编号： 10044523（2013）05064707

引言

功能梯度材料（FGMs）作为一种特殊的非均匀复合材料，其材料性质可随空间位置连续变化，从而能够适应不同的工程需要。因其所具有的诸多优越性，FGM已被广泛应用于许多工程场合，其结构分析也成为力学中的重要研究课题之一[1]。振动特性和动力响应是FGM结构分析中的研究热点，许多学者致力于这方面的研究并取得了丰富的研究成果[2]。Loy等基于Love壳体理论[3]，采用Ritz法分析了两端简支功能梯度圆柱壳在不同组分材料配置时的自振频率，讨论了组分材料体积分数对FGM圆柱壳振动频率的影响。陈伟球等利用状态空间法和分层近似理论研究了横观各向同性FGM矩形板的自由振动[4]，发现此功能梯度矩形板存在两类独立的自由振动形式：纯板内振动和一般的弯曲振动。Yang和Shen基于Reddy高阶剪切变形理论[5]，采用半解析法研究了FGM柱形曲板的自由振动问题，讨论材料组分、温度、几何参数以及边界条件对其振动频率的影响。边祖光等从三维弹性力学方程出发[6]，结合层合近似模型，计算了柱形正交各向异性FGM圆柱壳的自由振动频率。Matsunaga采用一种二维高阶变形理论分别研究了计及横向剪切和法向变形及转动惯量的FGM平板、浅壳和圆柱壳的自由振动和屈曲特性[7～9]。杜长城和李映辉采用Donnell壳体理论研究了FGM薄壁圆柱壳的自由振动特性[10， 11]。近几年，针对FGM结构的非线性振动问题，也有成果报道。杜长城和李映辉研究了FGM矩形板的大挠度非线性自由振动[12]，理论和数值分析均发现由于存在拉弯耦合效应，FGM板的单模态固有振动其振幅不再在具有关于板中面的对称性。Alijani等基于Donnell非线性浅壳理论研究了具有矩形底面的FGM双向曲线型浅壳的非线性强迫振动[13]，采用多尺度法讨论了其主共振和次谐共振响应，得到了分岔图和Poincaré映射，通过计算Lyapunov指数和Lyapunov维给出了系统的混沌域。张小广等应用多尺度法对四边固支FGM矩形板的非线性主共振问题进行了定量分析[14]，讨论了不同参数对其非线性振动特性的影响。张志强和胡宇达研究了热环境中FGM圆板在横向简谐激振力作用下的非线性动力响应问题[15]，揭示了FGM圆板在热环境中可能出现周期、拟周期和混沌响应。Hao等基于三阶剪切板理论采用渐近摄动法分析了热环境中FGM悬臂矩形板的前两阶模态的1∶1内共振和1∶2次谐共振特性[16]，结果同样显示，在特定条件下FGM悬臂矩形板可表现出周期、拟周期或者混沌运动。

本文旨在讨论FGM薄壁圆柱壳非线性振动中的模态相互作用及振动能量在模态间的传递，揭示其振动中的混沌运动特性。在研究方法上，为了更加直观地反映能量大小对振动特性的影响，通过系统能量分析，采用Hamilton动力学理论对功能梯度圆柱壳进行建模。

1能量基本方程

3数值积分与结果讨论

当振动能量很高时，Poincaré截面出现大片的混沌区域，而在混沌域中同时存在许多规则的不变圈岛屿，暗示了功能梯度圆柱壳在高能状态下从某些初始条件出发的振动将会表现出强烈的不规则运动特性，而从某些初始条件出发的振动仍然保持规则振动性质。

4结论

本文基于Donnell非线性壳体理论，给出了FGM薄壁圆柱壳的动能及势能表达式。采用Hamilton动力学建立了无限长FGM薄壁圆柱壳双模态振动的运动微分方程，通过数值积分和Poincaré映射研究了系统的模态相互作用和能量交换现象，揭示了系统的复杂动力学行为。研究表明：（1）系统在低能振动时表现为规则运动，而振动能量较大时，从某些初始条件出发的振动会产生混沌运动；（2）能量对系统振动特性具有非常显著的影响：随着系统能量的升高，FGM柱壳将经历一个分岔，使得在低能振动时的稳定轴对称单模态运动变为不稳定，触发能量在两个模态之间的传递和交换，能量进一步升高则直接导致系统混沌运动的产生；（3）FGM的梯度指数会对触发模态相互作用和能量交换的能量分岔点产生明显的影响。

参考文献：

[1]范镜泓， 陈海波. 非均质材料力学研究进展：热点、焦点和生长点—ICHMM2008的观察和启迪[J]. 力学进展， 2011， 41（5）： 615—636.

[2]沈惠申. 功能梯度复合材料板壳结构的弯曲、屈曲和振动[J]. 力学进展， 2004， 34（1）： 53—60.

[3]Loy C T， Lam K Y， Reddy J N. Vibration of functionally graded cylindrical shells[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 1999， 41： 309—324.

[4]陈伟球， 叶贵如， 蔡金标， 等. 横观各向同梯度材料矩形板的自由振动[J]. 振动工程学报， 2001， 14（3）： 263—267.

[5]Yang J， Shen H S. Free vibration and parametric resonance of shear deformable functionally graded cylindrical panels[J]. Journal of Sound and Vibration， 2003， 261（5）： 871—893.

[6]边祖光， 陈伟球， 丁皓江. 正交各向异梯度圆柱壳的自由振动[J]. 应用力学学报， 2004， 21（3）： 75—78， 163.

[7]Matsunaga H. Free vibration and stability of functionally graded plates according to a 2D higherorder deformation theory[J]. Composite Structures， 2008， 82（4）： 499—512.

[8]Matsunaga H. Free vibration and stability of functionally graded shallow shells according to a 2D higherorder deformation theory[J]. Composite Structures， 2008， 84（2）： 132—146.

[9]Matsunaga H. Free vibration and stability of functionally graded circular cylindrical shells according to a 2D higherorder deformation theory[J]. Composite Structures， 2009， 88（4）： 519—531.

[10] 杜长城， 李映辉. 功能梯度薄壁圆柱壳的自由振动[J]. 动力学与控制学报， 2010， 8（3）： 219—223.

[11] Du Changcheng， Li Yinghui. Vibration characteristic analysis of functionally graded cylindrical thin shells[A]. In： Proceedings of 2nd International Conference on Mechanical and Electrical Technology[C]. Singapore： IEEE， 2010： 478—481.

[12] 杜长城， 李映辉. 功能梯度矩形板的非线性自由振动[J]. 力学季刊， 2010， 31（2）： 250—255.

[13] Alijani F， Amabili M， Karagiozis K， et al. Nonlinear vibrations of functionally graded doubly curved shallow shells[J]. Journal of Sound and Vibration， 2011， 330（7）： 1 432—1 454.

[14] 张小广， 胡宇达， 任兴利. 四边固支功能梯度矩形板的主共振分析[J]. 振动与冲击， 2011， 30（6）： 153—157.

[15] 张志强， 胡宇达. 热环境中功能梯度圆板的非线性动力响应分析[J]. 复合材料学报， 2011， 28（6）： 237—244.

[16] Hao Y X， Zhang W， Yang J. Nonlinear oscillation of a cantilever FGM rectangular plate based on thirdorder plate theory and asymptotic perturbation method[J]. Composites Part B： Engineering， 2011， 42（3）： 402—413.

[17] Donnell L H. Beams， Plates and Shells[M]. New York： McGrawHill， 1976.

[18] Hunt G W， Williams K A J， Cowell R G. Hidden symmetry concepts in the elastic buckling of axiallyloaded cylinders[J]. International Journal of Solids and Structures， 1986， 22（12）： 1 501—1 515.

[19] Popov A A. The application of Hamiltonian dynamics and averaging to nonlinear shell vibration[J]. Computers and Structures， 2004， 82（3132）： 2 659—2 670.