高考中的数列推理及其应用

高考对合情推理的考查多以选择题和填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求新的结论. 而数列的内容丰富，应用广泛，其中的推理及其应用问题成为高考中的热点问题.

1. 数列推理在平面几何中的应用

例1 如图，互不相同的点[A1，A2，…，An，…]和[B1，B2，…Bn，…]分别在角[O]的两条边上，所有[AnBn]相互平行，且所有梯形[AnBnBn+1An+1]的面积均相等.设[OAn=an.]若[a1=1，a2=2，]则数列[an]的通项公式是 .

解析 [设A1B1O的面积为S，] 由所有[AnBn]相互平行，且[a1=1，a2=2，]有[梯形A1B1B2A2的面积为3S].

又所有梯形[AnBnBn+1An+1]的面积均相等，所以[梯形AnBnBn+1An+1][的面积为3S].

由平面几何的性质知，当[n≥2]时，[anan-1=OAnOAn-1][=m+3mn-1m+3mn-2=3n-23n-5]，

所以[anan-12=3n-23n-5]，递推有[an-1an-22=3n-53n-8，][an-2an-32=3n-83n-11，…，][a2a12=4.]

将上述各式左右两边分别累乘后有[ana12=3n-2，]

又[a1=1]，所以[an=3n-2（n∈N*）.]

点拨 由平面几何的性质导出[an]和[an+1]之间的相互关系，然后进行递推，在运算的过程中，要注意整体消元的思想.

2. 数列推理在解析几何中的应用

例2 如图，在区域[{（x，y）|x≥0，y≥0}]内植树，第一棵树在[A1（0，1）]点，第二棵树在[A2（1，1）]点，第三棵树在[A3（1，0）]点，第四棵树在[A4（2，0）]点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一棵树，第2013棵树所在的点的坐标是 .

解析 抓住特殊点的性质，考查区域内的第一象限的角平分线上的整点.

点[A2]的坐标为[（1，1）]，点[A6]的坐标为[（2，2）]，点[A12]的坐标为[（3，3）]，…

又[A2=A1×2]，[A6=A2×3]，[A12=A3×4]，…

而不大于2013且能表示为相邻两个数的积的最大整数为[44×45=1980]，[A1980=A44×45]，即点[A1980]的坐标为[（44，44）].

依图中的规律，应该左移33到达点[A2013]，第2013棵树所在的点的坐标是[（11，44）].

点拨 数列推理在解析几何中的应用往往是考查点的位置问题，解题的关键是抓住特殊点的共性寻找规律，再进行推理.

3. 数列推理在立体几何中的应用

例3 已知经过同一点的[n（n∈N*，][n≥3）]个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这[n]个平面将空间分成[fn]个部分，则[f3=] ，[fn=] .

解析 题目中是经过同一点的[n（n∈N*，][n≥3）]个平面，我们从广义上考虑，不妨由[n=1]时开始观察，显然[f1=2，f2=4].

构造正方体[MN]，[O]是正方体[MN]的中心，平面[ABCD]，平面[EFGH]，平面[IJKL]交于一点[O]，如图1，显然将空间分为8个部分，故[f3=8].

此时，我们容易出现这样的错误，认为[f1=2，f2=22，]，[f3=23]，继而猜测[fn=2n].

我们来考查[n=4]时的情形，如图2，连结[AE，EL，LC，CG，GJ，JA]，显然[AELCGJ]共面，而且和图1中的三个平面交于一点[O]，这样，平面[AELCGJ]和正方体[MN]有6条交线，即在原来的8个空间的基础上增加了6个空间，故[f4=14].

观察相邻两项之差，[f2-f1=2，][f3-f2=4，][f4-f3=6，]注意到它们相邻两项之间的差均为2，故[fn-fn-1=2n-1].

利用叠加法，容易求出[fn=n2-n+2].（对于一般性的证明比较繁琐，这里从略.）

点拨 在立体几何中，往往考查线分面，面分体的个数问题，解题的关键是抓住图形的特点找规律，进行推理.

4. 数列推理在解三角形中的应用

例4 设[AnBnCn]的三边长分别为[an，bn，cn]，[AnBnCn]的面积为[Sn，n=1，2，3，…，]若[b1>c1]，[b1+c1=2a1]，[an+1=an]，[bn+1=cn+an2]，[cn+1=bn+an2]，则（ ）

A.[Sn]为递减数列

B.[Sn]为递增数列

C.[S2n-1]为递增数列，[S2n]为递减数列

D.[S2n-1]为递减数列，[S2n]为递增数列

解析 因为[an+1=an]，所以[an=a1].

而[bn+1=cn+an2]，[cn+1=bn+an2]，

从而[b2+c2=c1+a12+b1+a12=c1+b12+a1=2a1]，

[b3+c3=c2+a22+b2+a22=c2+b22+a2=2a1]，

…

[bn+1+cn+1=2a1]，

即对所有[n]，有[bn+cn=2a1]，

不妨设[BnCn=an]，[AnCn=bn]，[AnBn=cn]，

则有[AnCn+AnBn=2a1]，且[BnCn=B1C1=a1]（定值）.

故点[An]的轨迹是以[Bn]，[Cn]为焦点的椭圆，如图.