平均数的教学不能离开统计意义

【编者按】小学阶段，为了适应学生思维发展的规律和认知规律，很多数学知识在呈现上会有“不严谨”或是“不规范”的现象，这需要教师在教学中有左右逢源的视域和上通下达的关照。然而，就有部分教师在处理这些概念时，采取“快意恩仇”的处理方式。短期看来，能够保证学生解题的成功率，长远看来却不利于学生的可持续发展。这其实是教师专业知识缺失的一种典型表现，打铁还需自身硬，教师自身专业知识的完备，才能使自己在开展教学活动时游刃有余，本期将结合具体课例围绕“完善小学数学教师专业知识”展开讨论。

这是一位教师发在新浪博客中的一篇博文（博主：秋叶书斋斋主）。

一个周六的下午，我正在赶一篇论文，儿子拿着一道题很迷惑地问我：“妈妈，这道题是怎么回事呀？”我一看――“如果你语文、数学、英语的平均成绩是92分，语文91分，数学90分，英语多少分？”就没好气地说：“上课没听讲，对吧？这么简单的应用题都不会做。”儿子委屈地分辩：“我听了！平均不就是同样多的意思吗？可是为什么我语文数学英语一定要考同样多的分数？”我简直忍俊不禁了，笑着说：“不是说要你考同样多的分数，而是你考了不同的分数，算出三门功课的平均成绩。”“为什么要算出我三门功课的平均数？”儿子进一步追问。我一听这小子要打破砂锅问到底了，赶紧随便找了个理由把他哄开了，否则一个下午也和他说不清。可是没过一会儿，他又来了：“妈妈，这个又是怎么回事嘛？”再一看，还是类似的题：“今年小明9岁，爸爸39岁，妈妈36岁，小明一家今年的平均年龄多大？”我有点不耐烦了：“你今天怎么回事？老算不出这么简单的数学题！”儿子一听，大声嚷嚷起来了：“我会算！可是为什么要算一家人的平均年龄呢？爸爸、妈妈、儿子的年龄怎么可能一样大呢？”我抬头看见儿子因“愤怒”而涨红了的小脸，忽然语塞。是呀，明明三门功课成绩不一样，为什么要假设它们一样呢？计算一家三口两代人的年龄平均值就更是纯粹的数学数字游戏，算出来有什么意义呢？可这在小孩看来，无法理解、毫无意义的数字游戏，偏偏在成人的世界中最为盛行――人均收入、人均居住面积、人均绿化面积等等。而这些平均数又意味着什么呢？

从这一段描述我们至少可以看出两个问题：第一，孩子知道平均数怎么算，但不知道为什么要这么算。第二，教师编撰的习题仅停留于平均数的算法意义，而没有体现出平均数的统计意义。由此，学生也就不能理解学习平均数的真正意义。

现象体现本质，教师对于“平均数”认识的缺失应是主因。回过头来看，平均数首先是一个统计量，它的意义是为了说明一组数据的统计特征。

一、怎样理解平均数的意义

理解平均数可以从以下三个方面去理解：

1. 怎么算平均数，也就是计算平均数的程序，即用被平均的数加起来除以数值的个数或通过均分几个量求得平均数。说简单一些就是“先加再除”，这是算法程序方面的理解。2. 在什么情境中用平均数。不仅仅知道怎么算，还要知道在什么情境下怎么正确地运用它解决生活中的问题，能求在不同情境下的平均数。这是第二方面的理解。3. 平均数是代表和理解一组数据的一个代表值，是描述和比较数据的统计量。

以前在教学“平均数”的概念时，教师往往把教学重点放在平均数的字面含义和求法上，而对平均数在统计学上的意义和作用很少提及。也就是关注的是第一条，而弱化的是最重要的一条――平均数的统计意义。

这里要注意，平均数是“描述和比较数据的统计量”。这涉及两个方面的“描述”和“比较”。在统计活动中，平均数有时作为一组数据的代表，独立描述这组数据的集中程度，如下文的“看一看每次可以记住几个数字”与“竞赛成绩统计表”等。有时又与其他组的数据进行比较。就如――

下面是“新苗杯”儿童歌手大奖赛成绩统计表。

（1）你是怎样理解平均得分的？与同伴交流你的想法。

（2）请你把这张成绩统计表填写完整。

（3）请你排出三位选手的名次，并与同伴交流你的方法。

在这个题目中，不同的评委对同一个选手的评分是不一样的。选择谁的评分作为选手的成绩？在这样需要两组数据总体水平的比较中，平均数就应当上场了。这样的情境比前面博文中孩子做的题目更接均数的统计意义。

二、教学建议

1. 在教学中要突出平均数的统计意义。

在北师大版教材中，四下“平均数”一课设计了一个记忆数字的游戏：“每三秒呈现10个数字，看一看每次可以记住几个数字。”在这个游戏中，要让学生理解“看一看每次可以记住几个数字”的意思，它不是一次能记住几个数字，是做过多次后，得到一组数据，然后选择一个能代表这组数据的代表值。其实，这可以看成是测试一个人记忆能力的小测验。结合淘气5次记住数字的统计表，取其中任何一个数据都不能代表淘气的记忆能力（当然，用最大值也未尝不可，关键看如何制定标准），这需要一个代表值，由此让学生体会平均数的统计意义。

数学中，不建议给出平均数的计算公式。这样更有利于学生理解平均数的意义。

蔡金法博士的研究发现，亚洲和美国在教学平均数的内容时，有明显的不同。亚洲系列更多的是对算术平均数这一算法的概念性和操作性理解，而不仅仅是把它看成一组数据的代表；美国的教材更多的是从一种统计学的角度而不是算法的角度来理解这个概念。美国教师强调学生应把平均数作为数据的代表来理解，而不是给学生演示算术平均数的算法。在美国的“教师用书”上很明确地指出五年级的学生没有必要学会平均数的计算方法，只是会估计就行了，如估计一个月的平均气温。在学生形成平均数的统计学意义的直觉后，才要求他们解决该教材中的例子。因为各国国情不同，我们不能说美国五年级的学生没有必要学会平均数的计算方法，只是会估计就行了，这个要求是不是太低，但他们并不过早地提供学生算法，而是让学生更多地从一种统计学的角度而不是算法的角度来理解平均数的概念，对我们是很有启发的。

2. 在实际应用中理解统计意义。

我们看下面的一个例子。

哪个班的成绩好些？

数学是国际通用的科学语言，“作为语言课，首要任务是会使用它来表达思想”。（张奠宙等《数学教育学》），平均数也是如此。本题中给出了两个班的原始成绩记录，一个班的数据有23个，一个班的数据有20个，要比较这两个班的成绩需要找到一个能代表各班成绩的代表值。由本题可以让学生体会平均数的统计意义，而非是一个算术习题。

当然，这样的问题是很多的。可以比一下不同班级学生的身高、体重等生理指标，也可以选取体育赛事中的某项目成绩。总之，要让学生在实际的应用中体会统计量的意义。

教学中要为学生尽可能多地提供足够的实际背景的问题，让学生思考，举例、解释、讨论，分享他们的看法。如，哪个国家的人更长寿些？有资料说，圣马力诺男性平均寿命为83岁，是不是这个国家的人到83岁就死亡呢？是不是在死亡的人中没有低于83岁的人呢？哪家快递公司到货更快些？有个公司说：他们发货平均3天到。如果你发的货第四天没到，你会找快递小哥“理论”吗？

3. 让学生亲自参与统计，体会统计量的意义。

先看一个资料：

人类工程学是一门建立在工程学、医学、心理学、解剖学、人类学、信息论等一系列科学基础上的新兴边缘学科。人体尺寸是人类工程学最基本的数据，是产品设计中不可缺少的资料。左图是从《人体动作尺寸图集》[（日）小原二郎编，张福昌译]中选取的一幅。请说出根据此图设计合适的座椅时应注意的几个数据。

现在的工业设计、企业规划、国家决策常常会用到大数据。一提大数据似乎离小学生很远，离我们的教学很远。其实，大数据也是统计思想的应用。由此，我们可以让学生自己测一下班里的同学的手长、腿长，身高、脚长，进行不同的活动时需要的空间，据此给出一些设计的建议。如，桌子应当多高合适？黑板多高才能适合四年级的学生书写？板报的字写多大才能看得清……这些问题的解决，需要用到众多的数据，而这些数据的采集就是很好的统计活动。这些活动，又离不开平均数。因为设计的桌子、黑板、楼梯，不能只照顾特殊人群，需要选择这些数据的代表值以代表这些数据的特征。

（作者单位：山东省茌平县杜郎口中学）