平均数的含义与教学

一、引言：为什么要使用平均数？

在一次小学数学骨干教师培训的教学实践课上，一个“意外”的问题引起了笔者的思考。这是小学三年级下册“平均数”的新授课，之前学生已经学习了“除数是一位数的笔算除法”和“简单的数据分析”，本节课的主要目标是让学生理解平均数的统计含义和计算方法。

教师用投影展示了两支篮球队的比赛场面，而观众想知道哪支球队的队员身体更高。为了解决这个问题，教师用投影给出了两支球队队员的身高情况（见表1、表2）。然后教师让学生计算两支球队的平均身高，其中欢乐队平均身高为（148＋142＋139＋141＋140）÷5＝142（厘米），开心队平均身高为（144＋146＋142＋145＋143）÷5＝144（厘米）。最后，教师引导学生得出结论：开心队队员高一些。

此时，有个学生提出疑问：“要比较两支球队队员的身高，只要比较身高的总数就可以了。而且比较总数还更简单一些。因此，没有必要比较平均数，用平均数反而复杂了。”教师没有立即回答这个问题，而是问其他同学，“你们怎么看？”有学生说，“要是队员超过10人，我们就没办法计算了，我们只学过除数是一位数的除法。算总数只用加法，我们都会算”；也有学生说，“要是最后除不尽，怎么比较呢？所以算平均数不好”。

课后，笔者意识到，学生学习平均数并不容易，便向听课教师询问学生求平均数时容易出现哪些错误。教师们给出了两种常见错误：一种是重复数据只计算一次，比如计算148、142、140、139、142、141、140的平均数时，容易写成（148＋142＋139＋141＋140）÷5＝142；另一种是容易遗漏数据0，比如对问题“8个同学组成的课外活动小组进行一次野外活动，其中7名同学带的食物重量分别是2.0千克、1.5千克、2.4千克、2.1千克、1.8千克、1.6千克和2.6千克，糊涂的东东匆忙之中忘了带食物，求平均每位同学带了多少千克食物”，学生容易计算成（2.0＋1.5＋2.4＋2.1＋1.8＋1.6＋2.6）÷7＝2.0（千克）。

仔细分析学生提出的问题和出现的错误，不难发现，学生并不是不会计算平均数，而是不理解平均数的统计意义。对于平均数的统计意义，现行课程标准和各版本教科书都没有明确说明，有些教师也不是很理解。笔者对此做了一些思考，然后进行了初步的教学探索。现将一些粗糙的结果呈现给大家，以抛砖引玉，让我们一起来研究如何更有效地进行“平均数”的教学吧！

（一）统计学的本质与统计的基本过程

作为一个研究领域，统计学是关于搜集和分析数据的科学和艺术，其目的是为了对一些不确定的事物进行较准确的推断。[1]随着社会的不断发展和科学技术的突飞猛进，统计学的应用范围日益广泛。比如，国民经济各部门的计划制订、管理生产、经济核算，科学研究中的实验设计和数据处理，教育中的学生行为、身体发育和成绩评定都需要用到统计学。统计学的本质是数据分析，通过对数据的分析来了解和判断数据产生的背景。[2]

统计是根据量的分析来研究不确定现象的，它的基本过程是：①确定研究问题，面对不确定现象，根据生产生活和科学研究的需要，发现和提出需要研究的问题；②制定研究方法，根据问题、研究对象的特点和研究条件，拟定研究方法；③搜集数据，根据研究方法，对不确定现象进行观察和测量，采集观察和测量的数据；④分析数据，按照一定规则对数据进行整理，应用数学的思想方法对其进行分析，探索隐含的规律；⑤做出推断与结论，根据数据分析中发现的规律，对不确定现象的过去状况进行推测、对现实状态进行评价或者对未来状态进行预测。

（二）平均数的含义

在分析数据的时候，面对一组数据，人们最容易想到的是对这些数据进行求和，看它们的总数是多少。然而，总数常常远远大于每一个具体数据，不能反映数据的真实状态，很难推断数据产生背景的真实状态。如果出现了两组数据总数相等的情况，用总数便很难对两组数据进行评价。鉴于此，人们想到了用一个量来表示数据的一般水平，以消除数据个数造成的总数和单个数据的偏差，便用总数除以个数，也就是平均数来代表数据的一般水平或者大致状态。

在统计学上，将某个随机现象的n个实验或观测数据a1，a2，…，an的平均数用表示，它的计算公式是。由于实验数据和观测值往往带有误差，而这些误差有正也有负，因此求平均数之后，正负误差相互抵消了一部分，从而比较接近观测和实验数据的真实面貌。所以，平均数的作用就是消除数据中局部的、随机的波动，表征数据的集中位置。

上述公式是求平均数的基本公式，由它求出的平均数一般叫做算术平均数。但在现实统计中，我们会记录数据出现的次数，这样可以大量减少数据的记录个数。比如数据a1出现f1次，a2出现f2次，……an出现fn次，记f=f1+f2+…+fn，那么这些数据的平均数。用这个公式求出的平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，fn叫做频数。当每一个频数都等于1时，加权平均数就变成算术平均数了。此公式可以变形为其中 叫做频率。

现实生活中，我们常用加权平均数进行计算。比如，某同学某一科的考试成绩为：平时测验为90，88，92；期中考试为90；期末考试为99。如果直接用算术平均数计算，得到（90＋88＋92＋90＋99）÷5＝91.8，这作为该同学的学科成绩似乎不太合理。于是，学校规定学科成绩的评定方式是：平时成绩占20%；期中考试占30%，期末考试占50%。那么加权平均数是（90＋88＋92）÷3×0.2＋90×0.3＋99×0.5＝94.5，这作为该同学的成绩就更为合理一些。

（三）平均数的特征

平均数的特征很多，在此做一个简单的归纳整理，仅供大家参考。

(1)平均数介于最大值和最小值之间，即平均数比最小的数大一些，比最大的数小一些。

(2)平均数是一个虚拟值，即平均数不一定是这一组数据中的数；平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征；为了弥补这一缺陷，统计学上用众数来代表数据的一般情况，众数是一个真实值。