浅谈数学解题能力的培养

解题是学生学习数学、掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，也是检验学生掌握知识、运用知识的一种主要形式。如何有效地提高学生数学解题能力，是每个数学老师所不可回避的问题。下面就该问题谈谈我的一些观点。

一、要重视审题在解题中的重要作用，培养学生的审题能力。

审题是解题过程的首要步骤。审题能力如何，直接影响到解题的成败。审题就是要弄清题目的条件和结论，对一些简单的题目，弄清题意并不困难。然而对于某些综合性或灵活性较强的题目，审题的要求就比较高了，这类题目的特点是条件复杂、较隐蔽、较不直接，因而我们需要对条件进行认真分析，进行更深的挖掘。而对于结论，有些需要通过分析而转换成其他各种等价表达形式，因而提高学生的审题能力主要是培养学生分析隐蔽条件的能力，培养学生转化已知和未知的能力。如：已知方程x2- x=k在区间（-1，1）内没有实数根，求k的取值范围。本题可直接进行分类讨论求k的取值范围，如果我们对条件更深入分析后可发现，题目中的k也可看成是x的函数，则本题的解决方法可避开分类讨论而直接先求二次函数k=x2- x在x∈（-1，1）内的值域，而原题k的取值范围即为所求值域的补集。再如：已知方程：（SinB-SinC）x2+（SinC-SinA）x+（SinA-SinB）=0有两个相等的实根，A、B、C为ABC的三个内角，求证：ABC的三边成等差数列。由题中条件，很自然想到判别式，再利用正弦定理把角化为边，最后化简式子的证明方法。如果在审题时更深入去分析、挖掘条件，可发现方程中各项系数之和为零。因而方程两相等实根为1，所以由韦达定理可得 =2， 再由正弦定理可得 =2，即a+c=2b，从而证得ABC三边a、b、c成等差数列。由以上两个例子可见，审题时把条件和结论分析得透彻是发现解法的前提，是提高解题灵活性的先决条件。因而，提高学生的审题能力就必须要强调审题的重要性，并且有意识地培养学生认真审题的习惯。

二、培养学生的数学思维能力，是提高数学解题能力的根本保证。

在平时的教学中，我们一方面要注重基本知识的教学，另一方面要注意学生能力的培养、思维的训练，因为任何一个教师都不可能把所有的题型讲完，也不可能把所有的解法都讲到位。因而，在教学中应激发学生的思维，积极引导学生从不同角度去思考、分析问题，充分挖掘学生的潜能，从而进一步提高学生分析解决问题的能力。

例如：求证方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，并且其中一个根大于a，另一根小于a。

依题意本题可直接证明如下：

将方程化为一般形式：

x2-（2a+b）x+a（a+b）-1=0

=（2a+b）2-4[a（a+b）-1]=b2+4>0

方程有两个实数根

设方程两根分别为x1和x2，则

x1= =a+ >a

x2= =a-

在教学中，我们还可以通过引导学生深入分析题意，从而得到两根一个根大于a，另一个根小于a，即等价于两个根与a的差为异号，因而第二部分可如下证明：

设方程两根分别为x1和x2，由韦达定理可得：

x1+x2=2a+b， x1x2=a（a+b）-1

（x1-a）（x2-a）= x1x2-a（x1+x2）+a2

= a（a+b）-1-a（2a+b）+ a2

= -1

x1-a与x2-a异号

因而得到两根一个根大于a，另一个根小于a。

如果对第二种证明方法再深入分析，则我们还可以先进行简单换元再证明具体如下：

设y=x-a，则原方程可化为：

y（y-b）=1

即y2-by-1=0

b2+4>0，方程有两个实数根y1和y2

y1和y2=-1

因而可得原方程有两个实根，其中一个根大于a。另一个根小于a。若能结合二次函数图像分析，则还可证明如下：

设f（x）=（x-a）（x-a-b）-1，其图像是开口向上的抛物线，由于f（a）=-1

在教学中，经常有意识地引导学生从各个方面积极地深入分析思考，可有效提高学生的思维能力和解题能力。

三、重视培养学生的解题后的反思习惯，是提高数学解题能力的有效途径。

反思是对自己认识过程的再认识，培养学生的反思意识，不仅是正确迅速解决问题的需要和保证，而且是优化思维，提高认知能力的有效途径。

引导学生进行反思，不仅是简单的回顾或检验，而且应引导学生根据问题的结构特点，通过对解题思路，解题方法以及题目类型更进一步的思考，从而进一步揭示解决数学问题的思维过程，开发学生的解题智慧，掌握解题规律，从而达到举一反三，解类旁通的目的。

1、引导学生对解题方法、解题思路进行总结。

如：已知a、b、c、d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，求证ac+bd≤1

证法一：2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2

2（ac+bd）≤a2+c2+b2+d2=2

ac+bd≤1

证法二：根据条件可设a=sinα，b=cosα，c=cosβ，d=sinβ，

于是ac+bd=sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）≤1