不可忽视的判别式

【摘要】同学们在解决直线与圆锥曲线位置关系相关题目时，有时并不能注意判别式应当满足的条件，而导致求解出错，因此，在教学中应当提醒同学们在处理问题时，不可忽略判别式应当满足的条件.

【关键词】直线；圆锥曲线；方程；判别式

在判断直线与圆锥曲线位置关系时，从代数角度讲，可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0，圆锥曲线方程为f（x，y）=0，由Ax+By+C=0f（x，y）=0消元，如消y后得ax2+by+c=0，当a≠0时，设判别式Δ=b2-4ac，则

Δ>0直线l和圆锥曲线相交于不同的两点；

Δ=0直线l和圆锥曲线有唯一一个公共点；

Δ

在多年的教学中发现，同学们在解决直线与圆锥曲线位置关系相关题目时，有时并不能注意判别式应当满足的条件，而导致求解出错，通过以下例子说明.

1.在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q.设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB垂直？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由.

有些同学是按如下步骤求解的：

解由条件知直线l的方程为y=kx+2，代入椭圆方程得：

此题结果出错的原因是忽略了方程①的判别式Δ=8k2-412+k2=4k2-2>0应成立.显然k=-24时，Δ

2.已知一条抛物线和一个椭圆都经过点M（1，2），它们在x轴上具有相同的焦点F1，且两者的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在坐标原点.

（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（2）假设椭圆的另一个焦点是F2，经过F2的直线l与抛物线交于P，Q两点，且满足F2P=mF2Q，求实数m的取值范围.

解（1）易求抛物线和椭圆的标准方程分别为：

此处结果出错的原因，依然是没有注意到方程y2-4ny+4=0的判别式Δ=16n2-16>0，即n2>1，从而导致结果出错.正确的结果为：

（m+1）2m=4n2>4，（m-1）2m>0，

解得m>0且m≠1.m的取值范围为（0，1）∪（1，+∞）.

以上两例说明，有些同学处理此类问题时，只注意联立方程，并结合韦达定理解决问题，但并没有注意方程判别式应当满足的条件.因此，在教学中应当提醒同学们在处理此类问题时，不可忽略判别式应当满足的条件.