谈二次函数在闭区间上的最值估计

关于二次函数f（x）=ax+bx+c在（-∞，+∞）上的最值问题，大家已经比较清楚，那么，在闭区间［-1，1］上的最值情况如何呢？本文通过讨论，给出一个定性的估计。

命题1：如果二次函数f（x）=x+mx+n，m、n∈R，|f（x）|在［-1，1］上的最大值为M，那么M≥.

证明：（用反证法证明）假设结论不成立，即M＜.

因为f（x）的对称轴为x=-，

（1）当|-|＞1，即|m|＞2时，f（x）在闭区间［-1，1］上为单调函数，

则有-＜1-m+n＜-＜1+m+n＜?圯-＜-1+m-n＜-＜1+m+n＜

?圯-1＜2m＜1?圯|m|＜，此与|m|＞2矛盾.

（2）当|-|≤1，即|m|≤2时，f（x）在闭区间［-1，-］上为单调递减函数，在闭区间［-，1］上为单调递增函数，则有

-＜1-m+n＜-＜1+m+n＜-＜-+n＜?圯-＜n＜--＜-n＜?圯-2＜＜0?圯m＜0，此与m≥0矛盾.

综上所述，M≥成立.

命题2：如果二次函数f（x）=x+mx+n，m、n∈R，|f（x）|在［-1，1］上的最大值为M，且M=，那么f（x）=x-.

证明： 因为f（x）的对称轴为x=-，

（1）当-＜-1，即m＞2时，f（x）在闭区间［-1，1］上为单调递增函数（如图1），

则有1-m+n=-1+m+n≤，或1-m+n≥-1+m+n=

?圯m≤，此与m＞2无公共元素，所以无解.

（2）当-1≤-＜0，即0＜m≤2时，f（x）在闭区间［-1，-］上为单调递减函数，在闭区间［-，1］上为单调递增函数（如图2），

则有1+m+n=-n≥-，或1+m+n≤-n=-

?圯-4≤m≤0，此与0＜m≤2无公共元素，所以无解.

（3）当0≤-≤1，即-2≤m≤0时，f（x）在闭区间［-1，-］上为单调递减函数，在闭区间［-，1］上为单调递增函数（如图3），

则有1-m+n=-n≥-，或1-m+n≤-n=-

?圯0≤m≤4，此与-2≤m≤0有公共元素0，所以m=0，n=-，所以f（x）=x-.

（4）当-＞1，即m＜-2时，f（x）在闭区间［-1，1］上为单调递减函数（如图4），

则有1-m+n=1+m+n≥-，或1-m+n≤1+m+n=-

?圯m≥-，此与m＜-2无公共元素，所以无解.

综上所述，f（x）=x-成立.

推论1：二次函数f（x）=ax+bx+c，|f（x）|在［-1，1］上的最大值为M，那么M≥|a|.

证明：另=m，=n，则f（x）=ax+bx+c=af（x）.

从而有：|f（x）|的最大值M就是|af（x）|=|a|・|f（x）|的最大值.

由命题1知，M＝|a|・M≥|a|.

推论2：二次函数f（x）=ax+bx+c，|f（x）|在［-1，1］上的最大值为M，且M=|a|，那么f（x）=±a（x-）.

证明：另=m，=n，则f（x）=a+bx+c=af（x）.

从而有：|f（x）|的最大值M就是|af（x）|=|a|・|f（x）|的最大值.

由命题1知M＝|a|・M=|a|，所以M=，

由命题2知f（x）=x-，所以f（x）=a（x-）.

又因为|-af（x）|=|af（x）|，所以f（x）=-a（x-），

所以f（x）=±a（x-）.

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