例说构造函数在解题中的应用

摘 要： 构造函数是中学数学解题的一种基本方法，也是函数知识活用的一个重要方面。教师可以通过巧妙地构造函数使得原本扑朔迷离的问题变得清晰明朗，变得可程序化。

关键词： 构造函数 可程序化 数学问题 创新能力

函数是整个高中数学的核心知识，我们如此重视它，不只因为它本身的魅力，更源于其强大的工具性和导向性。很多问题都可以通过巧妙地构造函数使得原本扑朔迷离的问题变得清晰明朗，变得可程序化。为了更好地说明这一点，本文以实例的形式介绍构造函数解决的几类问题，希望能抛砖引玉。

一、证明不等式

例1.求证：≥.

分析：通过观察，我们可以发现，不等式左右两边结构相同，而且其中|a|+|b|＞0，|a+b|＞0且|a|+|b|≥|a+b|，从而可以构造函数f（x）=（x≥0），利用函数的单调性进行证明。

证明：设f（x）=（x≥0），

f（x）==1-，

函数f（x）在［0，+∞）上为增函数.

又|a|+|b|≥|a+b|≥0

f（|a|+|b|）≥f（|a+b|）.

即≥.

注：不等式的证明是高中数学的难点，通过构造函数并利用函数知识来证明不等式问题是一种有效的方法。

二、求参数的范围

例2.使不等式++…+＜a-2007对一切正整数n都成立的最小正整数的值为 ?摇?摇.

分析：此题是个恒成立问题，我们将不等式左边看作函数f（n）=++…+（n∈N），则原题等价于函数f（n）＜a-2007恒成立，即只要求函数的最小值，就可以建立不等式确定的范围，从而得到正整数a的最小值。

解：设f（n）=++…+（n∈N），

f（n+1）-f（n）=+-＜+-=0，

f（n）为单调减函数，

f（n）的最大值为f（1）=，

由＜a-2007，以及a∈N，得a=2009.

注：本题中的变量n与参数a原本就是可以分开的，因此可以直接构造函数f（n），并利用其单调性求出函数f（n）的最大值。当然，有些恒成立问题也需要先对变量进行分离，再构造函数来解。

三、解决数列问题

例3.设等差数列{a}的前n项和为S，已知（a-1）+2007（a-1）=1，（a-1）+2007（a-1）=-1，则S=?摇 ?摇?摇.

分析：观察两个已知等式都有相似的结构特征，不妨构造函数f（x）=x+2007x，然后利用此函数的性质寻找突破口。

解：设f（x）=x+2007x，易知f（x）为奇函数，且是R上的单调增函数，

由（a-1）+2007（a-1）=1，

得f（a-1）=1，

由（a-1）+2007（a-1）=-1，

得f（a-1）=-1，

即f（1-a）=1，

f（a-1）=f（1-a），

所以a-1=1-a，故a+a=2，

S===2007.

注：由题目中已知等式的结构特征灵活构造函数，解答过程简洁明了。

四、解决二元范围问题

例4.若实数x、y满足-=1，则-的取值范围是?摇?摇?摇.

分析：观察到式子-含有两个变元x、y，直接构造函数不容易求得值域，因此考虑先减少变元。

解：-=-=-（）-+，

点（x，y）在双曲线-=1上，由双曲线的几何性质得∈（-1，1）.

设t=，则可构造函数f（t）=-t-t+，t∈（-1，1），

易求f（t）∈（-1，1），即-∈（-1，1）.

注：式子-是不平衡的，通过“1”的代换，实现了原式的平衡，通过设t=减少了变元，从而为构造函数f（t）铺平了道路。

五、解关于二项式定理的问题

例5.在（x-）的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S=?摇?摇?摇.

分析：将（x-）展开，发现含x的奇次幂的项之和是一个关于x的奇函数，含x的偶次幂的项之和是一个关于x的偶函数。

解：设S（x）等于（x-）的二项展开式中含的奇次幂的项之和，T（x）等于（x-）的二项展开式中含的偶次幂的项之和，所以（x-）=S（x）+T（x）.

分别将和-带入上式得：

（-）=S（）+T（）?摇?摇①

（--）=S（-）+T（-）?摇?摇②

因为S（x）是奇函数，T（x）是偶函数，所以（--）=-S（）+T（）?摇?摇③

由①、③得S（）=-2，即S=-2.

注：将（x-）表示成一个奇函数与一个偶函数之和，从而使整个解题过程大大简化，并且整个解法也不依赖排列组合及二项式定理的任何结果。

构造函数是中学数学解题的一种基本方法，也是函数知识活用的一个重要方面。用此法解题不仅能训练学生的思维，而且能培养学生综合的分析问题和解决问题的能力，还能培养学生解题的创新能力。

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