坐标轴平移中应注意的两个重要问题

摘 要： 坐标变换是化简方程、研究曲线的一个重要工具，曲线方程通过适当坐标变换后，可使曲线方程简化，从而便于对曲线的特征进行讨论和研究。坐标轴平移变换是化简不含项的二元二次方程、研究方程的曲线形状、进一步研究曲线性质的重要手段。作者通过举例说明，用坐标轴的平移化简二次方程时，应注意不能改变坐标轴的方向和长度单位这两个重要问题，否则，将会得出错误的结论。

关键词： 坐标变换 坐标轴平移 平移公式法 配方法

1.引言

坐标变换是指采用一定的数学方法将一种坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的过程，共有五种，包括平移（offset）、变倍（scale）、旋转（rotate）、切变（shear）、反射（reflect），这些变换除平移外均以坐标原点为基准点，即变换前后坐标原点不变。坐标变换是化简方程、研究曲线的一个重要工具，曲线方程通过适当平移后，可以消去一次项或常数项，使曲线方程达到简化［１］。坐标平移变换是化简不含xy项二元二次方程，研究方程的曲线形状，进一步研究曲线性质的重要手段［２］。在平移变换中，椭圆的长、短轴，双曲线的实、虚轴，焦距，离心率都是不变量，而焦点坐标、准线方程、渐近线方程则随坐标系的变化而变化［３］。

坐标轴平移是指在平面上，直角坐标系（称为旧坐标系）的原点为O（0，0），作新坐标系x′o′y′，使新的坐标轴x′和y′分别与旧坐标轴x和y同向，各坐标系上的长度单位不变，新坐标原点O′在旧坐标系中的坐标为（h，k），这种只改变原点位置，而不改变坐标轴的方向和长度单位的坐标变换称为坐标轴的平移。平移公式为：

x=x′+h，y=y+y′或x′=x-h，y′=y-k。

坐标轴的平移主要是用来解决将不含xy项的二元二次方程简化为二次曲线的方程的标准形式，以便能方便地讨论方程曲线的特征。坐标轴平移法在物理、化学［４］等方面也有广泛的应用。用坐标轴的平移化简二次方程时，应注意不能改变坐标轴的方向和长度单位，否则，将会得出错误的结论。在教学中，对如下题目学生可能会有以下四种解法。

2.解法举例

例：化简二次曲线x+4y-2x-16y+1=0为标准形式，并讨论其曲线的特征。

解法一：平移公式法

把平移公式代入所给方程，整理后可得：

x′+4y′+（2h-2）x′+（8k-16）y′+h+4k-2h-16k+1=0（1）

令上式中x′、y′的系数为零，即

2h-2=0，8k-16=0

解之得h=1，k=2。代入（1）式整理得原方程在新坐标系下的标准形式为

+=1

因此，所给方程的曲线为椭圆，中心在新坐标原点O′（1，2），其长轴为8，短轴为4。

解法二：配方法

将所给方程分别按x、y进行配方可得

（x-1）+4（y-2）=16

即

+=1（2）

令x-1=x′，y-2=y′，代入（2）式可得

+=1

故该方程的曲线为中心在新坐标原点O′（1，2）的一个椭圆，其长轴为8，短轴为4。

解法三：配方法

将所给方程分别按x、y进行配方可得

（x-1）+4（y-2）=16

即

+=1（3）

令x-1=x′，2-y=y′，代入（3）式可得

+=1

故该方程的曲线为中心在新坐标原点O′（1，2）的一个椭圆，其长轴为8，短轴为4。

解法四：配方法

将所给方程分别按x、y进行配方可得

（x-1）+（2y-4）=16

即

+=1（4）

令x-1=x′，2y-4=y′，代入（4）式可得

+=1

故该方程的曲线为中心在新坐标原点O′（1，4），半径为4的一个圆。

3.分析

在以上四种解题方法中，解法一和解法二的结果一致，并符合该方程曲线的特征，是正确的方法。

解法三则使该方程的曲线在新坐标系下的新原点发生了变化，由原本的O′（1，2）变成了O′（1，-2），这是由于在令2-y=y′中，坐标轴y与y′的方向不一致，正好完全相反，从而导致得出错误的结论。

解法四则使该方程的曲线本身发生了变化，由原本的椭圆变成了圆，并且也使该方程的曲线在新坐标系下的新原点发生了变化，由原本的O′（1，2）变成了O′（1，4），这是由于在令2y-4=y′中，虽然坐标轴y与y′的方向一致，但其长度单位不相同，变成了2y与y′的长度单位相同，因此在这里表面上好像作了坐标轴平移，但不是真正的坐标轴平移，所以导致结果严重错误。

4.结语

综上所述，在利用坐标轴平移化简二次曲线方程时，必须紧扣平移的基本要求，注意以下两个重要问题。

（1）坐标轴x与x′，y与y′的方向必须一致，即其前面的正负号应相同；

（2）坐标轴x与x′，y与y′的长度单位必须相同，即它们前面的系数均应为1或相同。

参考文献：

［1］张若冰.用导数求坐标平移后的新方程的系数［J］.淮南师范学院学报，2003，（3）：7-8.

［2］王涛.坐标平移在物理中的应用.科学教育家［J］.2008，（6）：230-233.

［3］谢世裕.坐标轴平移参数方程与极坐标［J］.数学教学通讯，2002，（5）（下）：32-41.

［4］陈瑛.坐标平移法在化学教学中的应用［J］.中学生数理化（教与学），2010，（1）：93.

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