方程与不等式常见错误例析

方程（组）与不等式（组）是初中数学的主要内容之一，也是历年中考的重点?郾 在中考“三轮”复习中，一定要查漏补缺，重视复习中出现的错误. 这里就方程（组）与不等式（组）在中考中常见错误进行例析，以供你迎考借鉴?郾

一、 把x与y的值看错

例1 （2011年长沙卷）若x=1，y=2是关于x，y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（ ）?郾

A?郾 -5?摇?摇 B?郾 -1?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 7

错解：错选C?郾 当x=2，y=1时，2a-3×1=1，所以a=2 ?郾 出现这一错误是把x与y的值看错?郾

正解：根据方程解的定义，将x=1，y=2代入方程ax-3y=1中得a-3×2=1，解得a=7?郾 选D?郾

温馨小提示：任何一个二元一次方程的解有无数个，要避免出现把x与y的值互换的错误?郾

二、 解分式方程易出现的错误

例2 （2011年绵阳卷）解方程：■-■=1?郾

错解：方程两边同时乘以（2x-5），得2x-2×（-1）=1，

解此方程，得x=■?郾 所以分式方程的解为x=■?郾

错解分析：本题有几个错点：①把分母2x-5与2x+5看成互为相反数了，于是出现了错误的最简公分母；②化分式方程为整式方程的过程中，公分母漏乘了整式项；③没有验根?郾

正解：方程两边同时乘以（2x-5）（2x+5），得

2x（2x+5）-2（2x-5）=（2x-5）（2x+5），

整理，得 10x-4x=-25-10 ?郾 解得x=-■?郾

检验：把x=-■代入（2x+5）（2x-5），（2x+5）（2x-5）≠0.

x=-■是原方程的解?郾

温馨小提示：在解分式方程时，公分母漏乘整式项和没有验根是常见错误，我们要格外小心?郾

三、 忽视了判别式

1?郾 在判断根的情况时没有考虑判别式

例3 （2011年潍坊卷）关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（ ）?郾

A?郾 k为任何实数，方程都没有实数根

B?郾 k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C?郾 k为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D?郾 根据 k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

错解分析：错选D?郾 方程中一次项、常数项都是字母，字母表示数，应该包含方程的根的所有情况. 选D?郾

正解：关于x的方程x2+2kx+k-1=0是一元二次方程，根的情况由判别式?驻=b2-4ac决定?郾 因（2k）2-4（k-1）=（2k-1）2+3＞0，方程有两个不相等的实数根?郾 选B?郾

2?郾 利用根与系数的关系解题时忽视了判别式

例4 （2011年乐山卷）关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-4=0的两根为x1、x2，且满足x1x2-3x1-3x2-2=0 ?郾 求（1+■）・■的值?郾

错解： 关于x的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-4=0有两根x1，x2，

则x1+x2=2-2a，x1・x2=a2-7a-4?郾

x1x2-3x1-3x2-2=0，即x1・x2-3（x1+x2）-2=0，

a2-7a-4-3（2-2a）-2=0，解得a1=4，a2=-3?郾

把a=4代入（1+■）・■，得（1+■）・■=■・■=2?郾

把a=-3代入（1+■）・■，得（1+■）・■=■?郾

错解分析：方程有实根的条件是?驻≥0，

即Δ=4（a-1）2-4（a2-7a-4）≥0，解得a≥-1?郾

所以a2=-3不符合题意，舍去?郾

温馨小提示：要熟记判别式的符号与根的个数之间的关系?郾 ?驻＞0，方程有两个不相等的实数根；?驻=0，方程有两个相等实数根；?驻＜0，方程没有实数根?郾 利用根与系数的关系解题时，慎防忘记判别式而出错现象?郾

四、 求字母的取值范围时，忽视了二次项系数不能为零

例5 （2011年江津卷）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）?郾

A?郾 a2?摇?摇 C?郾 a

错解分析：错选A?郾 由题意可知，（-2）2-4（a-1）×1＞0，解此不等式得a

正解：选C?郾

温馨小提示：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），特别是二次项系数不为零这一隐含条件不可忽视?郾

五、 错用不等式的基本性质

例6 （2011年淄博卷）若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）?郾

A?郾 a-3＜b-3?摇?摇 B?郾 -2a＞-2b C?郾 ■＜■?摇?摇 D?郾 a＞b-1

错解分析：错选A?郾 把不等式两边同乘以（或除以）一个负数要变号错用到加法运算中?郾

正解：根据不等式的性质，选项A、B、C都是不成立的?郾 因为a＞b，又b>b-1，所以a＞b-1成立?郾 选D?郾

温馨小提示：不等式的基本性质是不等式变形和解不等式（组）的根据?郾 这类题失分率较高，要引起我们的重视?郾

六、 审题不慎，只列出部分不等式

例7 （2010年乌鲁木齐卷）按如下程序进行运算：

规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止?郾 则可输入的整数x的个数是 ?郾

错解分析：错解，填无数个?郾 理由如下：

第一次运算的结果：2x-1；

第二次运算的结果：2（2x-1）-1=4x-3；

第三次运算的结果：2（4x-3）-1=8x-7；

第四次运算的结果：2（8x-7）-1=16x-15>65，解得x>5?郾

因此，符合条件的有无数多个整数?郾

正解：由于第三次运算的结果没有输出，所以8x-7≤65?郾

因此，2（8x-7）-1=16x-15>65且8x-7≤65?郾

解得5

温馨小提示：这是一道程序设计题，需要把所有的信息转化成方程或不等式才能正确求解?郾

例8 （2011年日照卷）若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a-1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（ ）?郾

A?郾 1＜a≤7?摇?摇 B?郾 a≤7?摇 C?郾 a＜1或a≥7?摇 D?郾 a=7

错解：选D?郾 理由如下：由已知得■=2，解得a=7?郾

正解：由已知可得a-1>0，即a>1?郾 由2x＜4得x

由（a-1）x＜a+5得x

由已知可得，x

所以■≥2，即a≤7?郾

综上所述，1＜a≤7?郾 选A?郾

温馨小提示：这道题较难，且极易出错?郾 最好在数轴上分别表示两个不等式的解集，才便于找到关系式■≥2 ?郾 ■