第二讲 方程与不等式

方程与不等式是初中数学的基础知识，它们的应用十分广泛?郾 单独考查这两方面的内容不多，一般与其他知识结合考查?郾 现在把方程与不等式主要内容归纳如下，供你复习时参考?郾

专题1 一元一次方程（组）

考点解读：单独求一元一次方程（组）的解和字母系数的值的题很少见，即使有也很简单，只要掌握基本概念就可解答，命题的主要方向是一元一次方程（组）的简单应用?郾

考点1 列一元一次方程

例1 （2011年湘潭卷）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”?郾 李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为 ?摇?郾

解：50-8x=38?郾

温馨小提示：这是一元一次方程命题的重点?郾 解题的关键是寻找等量关系?郾

考点2 二元一次方程解的识别

例2 （2011年益阳卷）二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）

A?郾x=0，y=-■.?摇?摇 B?郾x=1，y=1.?摇?摇 C?郾x=1，y=0.?摇?摇 D?郾x=-1，y=-1.

分析：将所有选项逐一代入验证，即可得到答案?郾

当x=1，y=1时，x-2y=1-2×1=-1≠1?郾 选B?郾

温馨小提示：将x与y的值代入方程，若使方程成立，则是方程的解，否则就不是方程的解?郾

考点3 求字母系数的值

例3 （2011年枣庄卷）已知x=2，y=1是二元一次方程组ax+by=7，ax-by=1的解，则a-b的值为（ ）?郾

A?郾 -1?摇?摇 B?郾 1?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 3

解：因为x=2，y=1是二元一次方程组ax+by=7，ax-by=1的解，

所以有2a+b=7，2a-b=1.解得a=2，b=3.所以a-b=-1?郾 选A?郾

温馨小提示：根据二元一次方程组解的定义，把解代入方程组，即可求a-b的值?郾

专题2 分式方程

考点解读：解分式方程和分式方程的应用是命题的重点?郾 解分式方程要注意验根，在实际应用中，自变量还受实际问题的限制?郾

考点1 解分式方程

例4 （2011年鄂州卷）解方程：■+■=1?郾

解：方程两边同乘以x（x+3）得2（x+3）+x2=x（x+3），

解得x=6?郾

经检验，x=6是原分式方程的解?郾

温馨小提示：解分式方程的基本思路是“转化”，把分式方程转化为整式方程求解?郾 另外，解分式方程一定要验根?郾

考点2 增根问题

例5 （2011年鸡西卷）分式方程■-1=■有增根，则m的值为（ ）?郾

A?郾 0和3?摇?摇 B?郾 1?摇?摇 C?郾 1和-2?摇?摇 D?郾 3

解：去分母，得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，即x=m-2.

因为原分式方程有增根，增根只能是x=1或者x=-2，

当x=1时，得m=3；当x=-2时，得m=0?郾

而当m=0时，分式方程变为■-1=0，此方程不成立?郾

所以m的值为3?郾 选D?郾

温馨小提示：当x满足最简公分母等于0时，它就是分式方程的增根，再代入原方程检验?郾 本题中容易出现选A的错误，原因是没有再代入原方程检验?郾

考点4 分式方程无解

例6 （2011年龙东卷）已知关于x的方程■-■=0无解，则a的值为?摇 ?郾

解：原方程两边同时乘以x（x+1），得ax-（2a-x-1）=0，

即（a+1）x=2a-1?郾

一方面，当a+1=0，即a=-1时，2a-1≠0，方程无解?郾

另一方面，原分式方程无解，即x（x+1）=0，解得x=0或x=-1?郾

当x=0时，代入（a+1）x=2a-1，得2a-1=0，解得a=■；

当x=-1时，代入（a+1）x=2a-1，得-a-1=2a-1，解得a=0?郾

综上所述，a的值为-1，0，■?郾

温馨小提示：分式方程无解，说明分母为0，由此可求出方程的增根，再将增根回代，即可求得a值?郾 本题中容易忽视由分式方程转化的整式方程无解的情况?郾

考点5 列分式方程解应用题

例7 （2011年毕节卷）小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请根据下列情景解决问题?郾

（1） 这个学校九年级学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生有多少人？

分析：由已知得总人数不多于300人，若多购买60支，则可按批发价付款，说明总人数大于240人?郾

解：（1）依题意，得 240＜学校九年级学生总数≤300?郾

（2）设九年级学生总数为x，根据题意，得

■×5=■×6?郾 解得x=300?郾

经检验x=300是原方程的解?郾

答：这个学校九年级学生有300人?郾

温馨小提示：本题以人物的情景对话为背景，考查我们解决实际问题的能力. 在阅读对话中，发现解决问题的条件，建立数学模型求解?郾

专题3 一元一次不等式（组）

考点解读：会用数轴表示不等式（组）的解集，理解不等式的基本性质，构建一元一次不等式（组）解决实际问题是考试的重点.

易错点：在不等式两边同乘以（或除以）一个负数，忘记改变不等号的方向.

考点1 不等式的基本性质

例8 （2011年深圳市）已知a、b、c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是（ ）?郾

A?郾 a+c＞b+c?摇?摇 B?郾 c-a＜c-b C?郾■＞■?摇?摇 D?郾 a2＞ab＞b2

分析：根据不等式的性质，逐一验证即可得出结果?郾

解：因为a＞b，所以-a＜-b，而c≠0，所以a+c＞b+c、c-a＜c-b、■＞■均正确，只有a2＞ab＞b2不一定正确. 选D?郾

温馨小提示：在运用不等式的基本性质3时，要明确不等号的方向是变还是不变?郾

考点2 解一元一次不等式（组）

例9 （2011年佛山卷）解不等式组：■-1＜x，x-（3x-1）≥-5?郾

解：解不等式■-1＜x，得x＞-2；

解不等式x-（3x-1）≥-5，得x≤3.

因此原不等式组的解集是-2＜x≤3?郾

温馨小提示：不等式组的解集可以通过“数轴法”确定，也可以通过“口诀法”确定?郾

考点3 确定一元一次不等式（组）的整数解

例10 （2011年烟台卷）不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有（ ）.

A?郾 1个?摇?摇 B?郾 2个?摇?摇 C?郾 3个?摇?摇 D?郾 4个

解：解不等式，得x≤2，因为x是非负整数，所以x=0，1，2，共有3个. 选C?郾

温馨小提示：求不等式（组）的整数解是比较简单的基础题，考查的频率却较高.

考点4 确定一元一次不等式组中的字母系数的范围

例11 （2011年安顺卷）若不等式组5-3x≥0，x-m≥0有实数解，则实数m的取值范围是（ ）.

A?郾 m≤■?摇?摇 B?郾 m＜■?摇?摇 C?郾 m＞■?摇?摇 D?郾 m≥■

解：解不等式5-3x≥0，得x≤■，解不等式x-m≥0，得x≥m，

不等式组有实数解，所以m≤x≤■，m必须满足m≤■?郾 选A?郾

温馨小提示：解本题时，要理解“有实数解”的意义，同时不要遗漏等于■的情况?郾

考点5 一元一次不等式的应用

例12 （2011年广州卷）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案. 方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9?郾5折优惠?郾 已知小敏5月1日前不是该商店的会员?郾

（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？

解：（1）120×0?郾95=114（元），所以实际应支付114元?郾

（2）设购买商品的价格为x元. 根据题意，得0?郾8x+168＜0?郾95x，

解得x＞1 120.

当购买商品的价格超过1 120元时，采用方案一更合算?郾

温馨小提示：解决这类问题，认真审题，读懂方案是解题的关键?郾

例13 （2011年桂林卷）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒?郾

（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）

（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？

分析：（1）根据“给每个老人分5盒，则剩下38盒”可求牛奶共有（5x+38）盒数?郾 （2）根据“每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒”可知：1≤最后一个老人的牛奶盒数＜5，由于前面的（x-1）个老人每人6盒，总共（5x+38）盒，最后一个老人分得的牛奶盒数为（5x+38）-6（x-1），因此有1≤（5x+38）-6（x-1）＜5?郾

解：（1）依题意，得牛奶盒数为（5x+38）盒?郾

（2）根据题意，得5x+38-6（x-1）＜5，5x+38-6（x-1）≥1?郾 解得39＜x≤43?郾

因为x为整数，所以x=40，41，42，43?郾

答：该敬老院至少有40名老人，最多有43名老人?郾

温馨小提示：利用不等式及不等式组解决实际问题时，都要先确定一个取值范围，再根据实际情况来做出判断?郾 如本题老人的数目必须是整数，故最小值为40?郾 另外，要注意根据“不足”、“至少”等词的含义列不等式?郾

专题4 一元二次方程

专题解读：一元二次方程是中考的重点. 解一元二次方程一般不难，根的判别式及根与系数的关系的简单应用、列一元二次方程解实际问题是命题的重中之重，在本刊第6期作专题讲解.

考点1 一元二次方程的解法

例14 （2011年聊城卷）解方程：x（x-2）+x-2=0?郾

分析：可以先通过整理，使得原方程转化一元二次方程的一般式，进而利用求根公式或因式分解或通过配方求解，考虑方程的结构，不如视（x-2）为一个整体，通过因式分解求解?郾

解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1?郾

温馨小提示：解一元二次方程，因式分解是首选方法?郾

考点2 用一元二次方程解决生活中图形类问题

例15 （2011年六盘水卷）小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如下的四种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中x的值?郾

分析：分别从各种方案的图形中获取信息，寻求等量关系，利用面积关系构建一元二次方程求解?郾 这是一道开放性题，可任选一种方案计算.

方案一：（8-x）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

而x1=12不合题意，舍去?郾 所以x=2?郾

方案二：（8-2x）（6-2x）=■×8×6，解得x1=6，x2=1?郾

而x1=6不合题意，舍去?郾 所以x=1?郾

方案三：■×（8-x）（6-x）×2=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

而x1=12不合题意，舍去?郾 所以x=2?郾

方案四：■×（8-2x+8）（6-x）=■×8×6，解得x1=12，x2=2?郾

而x1=12不合题意，舍去?郾 所以x=2?郾

温馨小提示：求出一元二次方程的解，必须检验，即x的值要有实际意义?郾 ■