关于一种函数最值的解法以及数学思想

函数最值问题是高中数学的一个重要问题，其作用不仅在于问题的解决，而且可以让学生最函数的性质有更深刻的认识，是高考考察的重点内容，诸如三角函数、线性规划等方面均有涉及。

在高中数学的学习中，学生往往会遇到各种形式的最值问题。最值问题的解决方法有很多，例如数形结合、向量法、基本不等式法等……而形如或者的函数最值问题是学生会遇到的一个难点。本篇本章讲分享这种函数最值问题的三种解法，并分析其背后所蕴含的数学思想。

在这里先讨论的函数最值，其中a，b，c，d，e都为常数，dx+e>0且不妨设a>0，d>0。

第一种解法为构造基本不等式法。具体的方法是将分子与分母相联系起来，设ax?+bx+c=k1（dx+e）2+k2（dx+e）+k3，通过解出待定参数k1、k2和k3，再将上式代入，把原式化为k1（dx+e）++k2，在k1、k3都为正数的情况，可以用基本不等式算出该式的最小值，即为函数的最小值。以“求的最小值”为例：设x?+4x+8=k1（2x+1）2+k_2（2x+1）+k3，得k1=、k2=和k3=，再将其代入原式，模仿上文的步骤，由基本不等式得原式≥4，当且仅当x=2或者x=3时等号成立，再结合2x+1>0可知当x=2时原式有最小值，最小值为4。

事实上这种解法用到了高中所学习的基本不等式的知识，以及构造基本不等式的方法，将最值与基本不等式联系起来，是一种应用广泛的解题技巧。而且本题在构造基本不等式的过程事实上用到了待定系数法，也是高中数学的一种解题技巧。当然在此过程中要注意一些细节，如等号成立的充要条件等。

第二种解法为根的判别式法。其具体的步骤是：令=k，由于该方程有解，所以进行移项，合并同类项，可知方程ax?+（b-kd）x+c-ke=0也是有解的。根据根的判别式，在这个二次方程中，?≥0，在a，b，c，d给定的情况下，可以解出k的取值范围，进一步知道k的最小值，即为函数的最小值。还是用上文的例子，用根的判别式法来求最小值：设=k，移项，合并同类项，得x?+（4-2k）x+8-k=0。由于这个方程有解，所以?=（4-2k）2-4（8-k）≥0，解得k≤-1或k≥4，由于2x+1>0，x?+4x+8>0，所以k>0，所以k≤-1不合题意，舍去。所以k≥4，即k的最小值为4，所以原式的最小值为4。

这种方法事实上是用到了函数与方程的思想，将函数=k有解转化为二次方程有解，再由二次函数根与系数的判别式可以知道?≥0，再进一步求出k的取值范围。这需要学生将函数与方程有一定的认识，并很好地结合起来应用。

第三种解法为求导法。具体的解题步骤为：对函数进行求导，令导函数等于0求出导函数的零点，再由导函数的图像分析原函数在区间的单挑性，从而分析出y的最小值。例如，令y= ，对y进行求导，可知当x∈（-∞，-3），y'>0，y单调递增；当x∈（-3，2）时，y'

这种方法实际上是导数运用的典型例子。把要求某个函数的最值转化为函数在区间的最低点，通过求导的方式求出函数的单调递增递减性，进而分析出函数的最低点，再求出函数的最值。这种用导数来分析最值的方法，不仅可以应用在这种分式型的最值问题，对于许多函数最值问题都是最基础、应用最广泛的方法，只是求解过程、计算量等方面相对简单或复杂而已。

分析完型的最值问题后，的最值问题也就迎刃而解了。如求后者的最大值，只需要求出前者的最小正值t，就可以得到后者的最大值为1/t。

我们回过头来看一下刚才解决函数最值问题的三种方法――基本不等式法、根的判别式法、求导法。

对于基本不等式法来说，很多学生在学习基本不等式时，只知道基本不等式的公式，但在实际题目的运用中却常常遇到瓶颈，主要表现在不知道如何构造基本不等式的形式。除了上文基本不等式的构造方法外，如“已知a+b=1，求+的最小值”，用到的方法是利用a+b=1，将其与原式相乘，再用乘法分配律即可得到基本不等式的形式。似的关于不等式构造的题目还有很多，学生可以举一反三。

对于根的判别式法来说，其主要应用的是方程解的个数与函数零点的关系，这在高中数学人教版必修一第三章有所涉及。上文通过移项，把方程的解的问题转化为二次函数的零点问题，是题目的一个特殊解法，也是学生在面对最高项系数为2的方程时可以考虑的一个解法。

对于求导法，主要是考察学生对函数本身的理解程度。应用好求导法，除了学生本身要掌握好求导法则以外，还要善于分析导数问题。对于等号两边分别是两个函数的方程的解的个数，一般来说有两种思路：一是直接判断两函数的图像交点个数，这建立在两个函数图像都可以简便地画出来的基础上；二是通过移项，使得等号的一边是关于自变量x的函数f（x），另一边是0，从而把问题转化为求函数f（x）的零点个数，既可以通过f（x）自身的特殊性质（如上文f（x）是一个二次函数，可用根的判别式判断零点个数），也可以通过求导（也就是上文提到的求导法），分析函数f（x）的单调性，进一步判断零点个数。两种思路，第一种具有简便性，第二种具有一般性。

函数最值问题，作为高中数学的重难点，需要我们不断探究，挖掘其背后的数学思想，掌握其本质，方能百战不殆！