关注几何直观促进数学思考

时间:2022-09-24 05:39:10

关注几何直观促进数学思考

[摘要]借助几何直观,难懂的数学问题可以变得简单易理解,抽象的数学概念、公式可以变得生动形象.教师应该重视培养学生的几何直观意识.

[关键词]几何直观;数学;思考

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2017)20003102

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出要关注数与代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联,展示数学的整体性.对于数与代数的内容,教材重视有关内容的几何背景,运用几何直观帮助学生理解和解决有关代数问题.几何直观是指人们借助见到的(或想象出来的)几何图形的形象关系,对数学的研究对象(空间形式和数量关系)进行直接感知和整体把握.利用直观教学,了解其几何背景,不仅能引发学生的探索兴趣,更能激起学生积极思考的热情.

一、借助几何图形面积的计算,探索有关公式

1.合并同类项法则

【例1】如图1,大长方形由两个小长方形组成,用不同的形式表示长方形的面积.

从图1可以看出,这个长方形的面积可用代数式表示为5n+3n或(5+3)n,从而5n+3n=(5+3)n=8n.这就是说,在计算5n+3n时,可以先将它们的系数相加,再乘以n就可以了.

【例2】用不同的方法表示图2所拼长方形的面积S.

方法1:S=(m+b)(n+a);

方法2:S=ma+mn+bn+ba.

从上图可看出(m+b)(n+a)=ma+mn+bn+ba.从而得出:

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

3.完全平方公式

【例3】如图3,一块边长为a米的正方形,将其边长增加b米,形成一个新的正方形,用不同的形式表示新正方形的面积S.

方法1:S=(a+b)2;

方法2:S=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.

从而得出(a+b)2=a2+2ab+b2.

4.平方差公式

【例4】如图4、5,边长为a的大正方形中,剪去一个边长为b的小正方形,把剩下的部分拼成一个长方形,分别计算图4、图5中阴影部分的面积S.

根据计算结果,探索规律.

在教学中,可先让学生思考:从上面这些算式中你能发现什么?让学生经历“观察(每个算式和结果的特点)――比较(不同算式之间的异同)――归纳(可能具有的规律)――提出猜想”的过程.如果学生一时未能独立发现其中规律,可借助点阵的排列规律来帮助学生理解.

利用图6左图的点阵,可使学生从数与形的联系中发现规律,进而鼓励学生推测出1+3+5+7+…+19=102.

此后,还可以根据学生的实际情况,把这个问题进一步推广到一般的情形,推出1+3+5+7+…+(2n-1)=n2,并加以验证.

三、借助数轴,直观地求解代数问题

1.不等式(组)的解集

【例6】解不等式组.

3x-1>2x+1①2x>8.②

解不等式①,得x>2;解不等式②,得x>4.

在同一数轴上表示不等式①、②的解集(如图7).

由数轴可知,所求不等式组的解集是:x>4.

2.绝对值的几何意义

【例7】当x为何值时,式子|x-1|+|x+2|+|x-3|有最小值?

解:根据绝对值的几何意义,本题是求到点-2、1、3的距离之和最小的值.让点在数轴上从左到右运动,当运动到-2和3之间时,点到-2、3的距离和为定值5,运动到1时,到1的距离为0,此时原式的值最小,即当x=1时,最小值为5.

观察发现,该式含有3个绝对值符号,要求该式子的最小值,若采用去绝对值符号进行讨论,则会很烦琐,而结合数轴、借助绝对值的几何意义来求解则更清楚直观,往往能达到出奇制胜的效果.

四、借助线形示意图,帮助学生建立方程模型

1.线段图

【例8】某小组计划做一批“中国结”,如果每人做5个,那么比计划多了9个;如果每人做4个,那么比计划少了15个,小组成员共有多少名?他们计划做多少个“中国结”?

某同学解:设小组成员有x名,根据题意,得5x+9=4x-15,他的解答是否正确呢?

下面我们借助线段图(如图8):

由线段图,可以清楚地发现(1)(2)各自与计划个数的关系,5x-9=计划个数,4x+15=计划个数,易得方程5x-9=4x+15,那么“该同学的解答是错的”就一目了然了.

2.圆形图

【例9】将一批资料录入电脑,甲单独做需18h完成,乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h,剩下的部分由甲、乙合做完成,甲、乙两人合做了多少时间?

思考1:如果把全部工作量看作1,设甲、乙两人合做的时间是x小时,那么可以画出圆形图(如图9、10):

由图9可得方程:118×8+(118+112)x=1

;由图10可得方程:118(8+x)+112x=1.

通过不同的“形”找到存在的各种“数”的关系,形数对照,使学生对知识有更深刻的理解.

五、借助函数图像,轻松解决生活中的代数问题

【例10】A、B两家旅行社分别推出家庭旅游优惠活动,两家旅行社的票价均为90元/人,但优惠办法不同.A旅行社的优惠办法是:全家有一人全票,其余的人半价优惠;B旅行社的优惠办法是:每人均按三分之二的票价优惠.根据图意(如图11)回答.

(1)当全家为2人时,

A旅行社与B旅行社收费各是多少?

(2)当全家为6人时,

A旅行社与B旅行社收费各是多少?

(3)当全家为多少人时,A旅行社与B旅行社收费一样多?

(4)当全家为多少人时,选择B旅行社更划算?

解:

(1)当全家为2人,A旅行社与B旅行社收费各是45元,60元.

(2)当全家为6人时,A旅行社与B旅行社收费分别是135元,120元.

(3)当全家为4人时,A旅行社与B旅行社收费一样多.

(4)当全家多于4人时,选择B旅行社更划算.

观察理解函数图像的变化规律,便于人们直观地判断事物发展的方向,并提出相应的对策,寻求解决问题的方法.著名数学家华罗庚指出:“数”与“形”是数学中最本质、最古老的两样东西.它们既分别发展着,同时又互相渗透、互相启发,共同推动着数学科学的向前发展,形与数相比较,有着直观上的优势.初中生相对于抽象思维,普遍更喜欢形象思维,对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆.教师应注意到学生思维方式上的这些特点,在讲授有关的数学知识时,尽可能数形结合、形数对照,使学生对所学内容更易于理解和记忆.而在解决实际问题时,同样应教给学生数形结合的思想方法,启发他们学会对一些数量关系做出“形”的解释,发掘其中“形”的因素,以增加解决问题的有效途径.

总之,借助几何直观,难懂的数学问题可以变得易理解,抽象的数学概念、公式可以变得生动形象.因此,教师首先要具有较好的几何直观意识,在各种教学细节的处理中,善于挖掘和捕捉几何直观的资源,渗透几何直观,从而促进学生对数学问题的“形”的思考.

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