长程设计:关注阶段性和一致性

【名师档案】

魏光明，南京市中华中学附属小学副校长，中学高级教师，江苏省数学特级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象。长期致力于小学数学“核心知识”教学研究，多次应邀作省级以上公开课和专题讲座，先后主持《小学数学“核心知识”教学的理论与实践研究》等3个相关的省级立项课题，并在《人民教育》《江苏教育》《教学与管理》《中小学数学》等期刊发表数万字相关成果。

众所周知，一些重要的数学内容、方法、思想，或者说“核心知识”，学生需要经历一个长线的认识过程，才能逐步感悟、理解和掌握。因而，我们需要依据前后知识之间存在的内在逻辑关系和不同阶段学生的认知发展水平，着眼一个长线的教学过程，可以是几个课时、一个单元，也可以是一个学期、一个年级、一个学段，甚至更长的阶段，有目的、有计划地进行系统的长程设计，将每节课的教学内容置于整体知识体系之中，引导学生在知识生长过程中逐步达成学习目标，发展学习能力，提升数学素养。

问题1：长程设计需要关注什么？

数学本身具有严密的逻辑性，教材内容一般分散编排、螺旋上升，不同学段的学生具有不同的认知水平和思维方式，且学生必须通过独立思考才能有意义地建构知识，因此，数学教学需要进行长程设计，关注阶段性和一致性，科学地处理好局部知识与整体知识、阶段发展和长远发展的关系。

根据课程标准的总体目标，教材选择若干典型知识，架构起了“数与代数”、“图形与几何”（“空间与几何”）、“统计与概率”、“综合与实践”（“实践与综合应用”）四个领域的总体内容；根据课程标准的学段目标和学生的年龄特点、认知水平，教材又将选定的知识切分成若干个单元，分散到不同学段，再分散到不同年级、不同学期。显然，对于初步教学的知识，我们不能用该学段结束时才应该达成的学段目标来要求和评价学生；对于编排在低学段的知识，也不能超越学生的认知水平，要求学生提前达成应该在后续学段达成的目标。所以，数学教学不能急于求成，而应关注阶段，聚焦当下，循序渐进，逐步达标。具体教学中，我们应该根据内容进度和具体学情，科学地拟订简约、具体、明确的阶段目标尤其是课时目标和环节目标，按照知识自然生长的节奏，把握好当前知识的教学尺度，逐级递进，螺旋上升，有效地达成每一个节点的教学目标，避免教学内容所涉及的知识超出相应的阶段目标，给学生带来学习困难。

另一方面，我们不能因为关注阶段性而孤立地看待、分析和教学特定的知识，而应立足知识的整体性，借助知识本质和数学思想在知识发生、发展、应用过程中的一致性，打通不同阶段的显性知识及其蕴含的数学思想和方法之间的联系，促进学生形成良好的认知结构。在具体教学中，我们应该紧扣知识的数学实质和通性通法，找准知识的生长点、延伸点，选择、重组或创编教学内容，让知识有逻辑地生长、多方向地联结，并借助生长惯性扩展知识的广度，增加知识的深度，促进学生正确、清晰、全面地理解数学对象、内容、方法之间的逻辑关系，厘清正在学习的知识从哪里来，现在处于哪里，还要到哪里去，从而更加准确地把握各个阶段的教学内容及其应该达成的目标，学会用一条清晰的线索串联起不同阶段甚至不同领域的知识，给知识注入自然生长和结构化的“基因”。

问题2：如何进行长程设计？

数学教学中，无论是课程目标的达成，还是学生学习能力的形成和提高、数学素养的提升和完善，都需要经历一个长期的、循序渐进的过程。下面以苏教版教材中“把一个数改写成用‘万’或‘亿’作单位的数”的教学为例，谈谈如何进行教学的长程设计。

从教材内容的编排来看，这一知识被划分为两个阶段：第一阶段安排在四年级上册，内容是“把整万数、整亿数改写成用‘万’或‘亿’作单位的数”，要求学生在掌握万级和亿级的计数单位、对应数位及数的组成、整万数和整亿数的一般读写方法的基础上，知道“万”与整数末尾的4个0、“亿”与整数末尾的8个0之间具有等价关系，学会用先去掉整数末尾的4个0或8个0，再加上“万”或“亿”作单位的方法，简便地表示整万数、整亿数；第二阶段安排在五年级上册，内容是“把较大的数改写成用‘万’或‘亿’作单位的小数”，要求学生在掌握小数的意义和性质、把整万数和整亿数改写成用“万”或“亿”作单位的数的基础上，知道一个较大的数可以分成整万数或整亿数以及万位或亿位后面的尾数两个部分，学会用先在万位或亿位右边点上小数点，再将小数化简，最后加上“万”或“亿”作单位的方法，简便地表示一个较大的数。认清这两个阶段，有利于教师清晰地教、学生清晰地学，也有利于教学评价的设计。

但是，仅仅达到上面的要求是远远不够的，因为在这样的教学中，学生获得的知识是散点状的，不利于他们把握知识体系和完善认知结构。在第二阶段教学时，我们还应该思考并让学生感悟：两个阶段的方法之间存在怎样的内在联系？是否存在通性通法？能否推广到其他内容领域？等等。比如，可以通过比较，让学生感悟和理解两种方法是一致的，不存在前后矛盾，“去掉整数末尾的4个0或8个0”，其实就是“在万位或亿位右边点上小数点，再将小数化简”，只是后者更具一般性而已。并且，它们都只是改变了数的表达形式，没有改变数的大小。教学“小数除法”之后，我们还可以再次聚焦这一知识，引导学生认识到“在万位或亿位右边点上小数点”与“一个数除以10000或100000000”之间是等价的，也就是将一个数的小数点向左移动4位或8位。在此基础上，我们还可以引导学生理解并掌握“把一个数改写成用‘万’或‘亿’作单位的数”，其实质就是把以“一”为计数单位的数改写成以“万”或“亿”为计数单位的数，方法就是用这个数除以“进率”10000或100000000。从这里拓展开去，学生就能很容易地理解和解决与这一知识链条相关的其他数学问题，学会从不同角度观察和思考，并在长线学习过程中沟通知识间的联系，完善认知结构，增强探索意识和能力。

由此可见，数学教学可以借鉴“逆向设计”的成功经验，基于课程标准找寻知识逻辑生长的“因子”，让学生在经历分解、联结和拓展的“慢”且“长”、尽可能体现数学自身发展轨迹的过程中，获得数学结果，体验数学结果形成的过程及其蕴涵的数学思想方法，积累基本的数学活动经验，提升以数学思考和问题解决为核心的、未来可持续发展的数学学习力，实现知识获得过程、思维发展过程与生命成长过程同步。

（作者单位：南京市中华中学附属小学）

阅读延伸

长程设计关注大视野，强调教学的前后一致性，自然涉及推理、迁移、同化和顺应。

推理是数学的基本思维方式，贯穿于整个数学学习过程之中。

迁移是一种学习对另一种学习的影响，不仅存在于某种经验内部，也存在于不同经验之间。

皮亚杰认为，知识建构涉及图式、同化、顺应和平衡四个重要概念。同化是指将外部环境中的有关信息吸收进来并结合到儿童已有的认知结构（也称“图式”）中，即个体将外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程。顺应是指外部环境发生变化，而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时所引起的儿童认知结构发生重组和改造的过程，即个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变，进而达到理解的过程。就本质而言，同化是认知结构数量的扩充（图式扩充），顺应是认知结构性质的改变（图式改变）。儿童的认知结构就是通过同化和顺应过程逐步建构起来的，如果对具体知识的学习不能正确把握是同化问题还是顺应问题，学生就会出现理解错误和偏差，导致教学效果不尽如人意。

为了更加全面、深入地了解数学教学的长程设计，可以参阅下列资料：

1.《立足整体・梳理结构・长程设计・阶段突破――以小学数学问题解决的结构教学为例也谈减负增效》（马美南，http：///Disp.Aspx？serid=5883）

2.《课程标准与教学一致性建构：美国科罗拉多州经验》（李峰，《当代教育科学》，2012年第10期）

3.《聚焦单元设计 促进“理解”教学》（郑丹丹，《现代教育科学・普教研究》，2012年第2期）