教材定理公式成为两道“典型”高考题的启示

摘 要：高考是课改的指挥棒和方向标，高考试题引领着教学改革． 高三教学复习不应只是整个高中数学知识点的罗列和简单的强化训练，更应是对学生已有的知识结构做系统整理和升华；不是公式的简单模仿强化应用而是对知识的内涵和本质再认识，构建新的数学知识体系．

关键词：教材定理公式；高考试题；存在问题；建议

近年来各地高考新题不断出现，让人为之兴奋，为新课改而叫好． 读完《为“叙述并证明余弦定理”成为高考试题叫好》一文，我们应该反思高三的教学复习．无独有偶，2010年四川高考题也是一道关于教材中公式的证明：①证明两角和的余弦公式C（α+β）:cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ，②由C（α+β）推导出两角和的正弦公式：S（α+β）:sin（α+β）=sinα・cosβ+cosαsinβ． 这两道试题的出现，不仅给当前的一些高考复习方式和方法当头一棒的感觉，更是让人值得反思高三的教学复习应该如何进行？怎么做才能更好地对学生已有知识体系进行再构建和升华． 简单的模仿应用公式、反复训练培养不出优秀的学生，优秀的学生对知识内涵和结构有系统、深刻的认识，能做出自我判断，掌握一门学科的学习方法，能够较深刻地领会其思想方法．

这两道高考题直接来源于教材中的定理和公式证明，在日常教学中，教师和学生都能熟练运用，但在高三复习教学中恐怕很少有教师要求学生回顾其证明过程，再次阐述证明过程所采用的数学思想方法． 就两角和的余弦公式来说，人教版两个不同的版本采用的证明方法不同． 老人教版中使用两点间的距离公式来证明，计算量大，思维空间小；新人教版中，该公式的证明安排在学习了平面向量之后，利用向量的数量积来证明，公式的证明过程简洁明了，呈现出数学简洁美，同时体现了平面向量的应用价值，拓展了学生的思维空间． 这两道试题的出现再一次向高三的教师提醒：要认真研究每年的考试说明，领会课标精神：回归教材，重视基础，注重通性通法，帮助学生构建宏观知识体系，突出思想方法，注意能力．

■新课标对数学课程的几点要求

（1）注重提高学生的思维能力． 提高学生的思维能力是数学教学的基本目标之一，在数学学习和运用数学解决问题过程中，经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等思维过程． 在这一系列的过程中，学生思维能力得到形成和提高．

（2）强调数学的本质和思想方法． 在数学教学中，要强调对数学本质的理解，不能只限于形式化的表达． 高中数学应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质． 数学要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，让学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史轨迹．

（3）更加关注数学知识形成的过程． 数学知识的生成过程即是数学发展的历程，其中蕴涵着大量的数学思想方法，对数学学习者来说：思想方法才是数学美的所在，体会了其中的美，才能深刻理解数学的本质． 由此，自然能达到新课标的基本目标之一：学习有动力，探究有活力． 数学的教学也就不再是枯燥的反复演练而是具有创造性的探究活动．

新课标指出应该关注学生理解数学概念、数学思想过程的形成，关注学生数学式地提出、分析、解决问题等的过程．

总之，新课标要求数学教学更加强调概念的生成与发展，注重学生获得知识的过程和思维能力的提高过程，不再是公式化、形式化的数学教学，要求教师在教学中要尽可能地揭示数学的本质，呈现数学知识的生成、发展过程，关注学生思维能力的发展过程．

■当前高三复习中普遍存在的问题

（1）结论式复习，不注重分析使用条件

高三复习中，不少教师采用对知识点强化记忆和反复训练的模式． 复习过程侧重公式的基本结论，喜欢总结“秒杀”技术，不细致分析公式的应用条件和说明为什么不可以这样做，盲目地组合试题给学生训练，结果事与愿违，大多学生记住了公式、结论却不知道如何使用、在什么时候使用，在考试中遇到新题型束手无策． 高考中的一些陷阱题正是针对机械训练而设计的，体现了课标的引领精神． 例如，在导数的应用中将导数的必要条件f ′（x0）=0当做充要条件使用导致错误等．

（2）重结论，轻视知识间的内在联系

在复习中，一些教师为了节约复习时间，更多地讲题，对教材中的结论直接给出，不重视结论在推导过程中的蕴涵的思想方法和对学生思维的启发作用，这样做不但没有节约时间反而是增加了学生的学习负担． 每年的考试说明中都明确要求：考查通性通法、注重数学思想方法和创新意识． 高考试题中的难题其实不难，其中蕴涵的数学思想方法在日常教学中都零散的讲授过或应用过，认真研究其知识间的关联性，能较好地做到触类旁通，发现学生在复习中真正存在的盲区，复习教学变得更有知道性． 复习三角函数这一章时可如下安排：单位圆内定义任意角?圯任意角的三角函数?圯y=sinx的图象性质?圯y=Asin（ωx+φ）的图象性质及y=Acos（ωx+φ）的图象性质． 这样一来，三角函数的基本问题归结为：单位圆内三角函数的定义，诱导公式和终边相同建立起内在关系，在公式变化中符号出错问题得以澄清，研究透彻正弦函数y=sinx的图象性质后，利用整体与部分的思想在研究正弦型函数y=Asin（ωx+φ）（A>0）的图象和性质时，学生容易接受和理解，这样做不但突出了这一章节的主干知识网络结构，还优化了知识间的内在联系，学生的思维能力得到提高．

（3）不重视教材的基础作用，盲目做题训练

教材是试题的载体，是高考命题的依据，也是学生智能的生长点，是最有参考价值的资料． 教材中选取的例题和习题都具有其目的和意义，比较典型，能系统概括、反映出本章节内容中运用的重要思想和方法，同时一些基本定理和公式的证明过程蕴藏着重要的数学思想方法，能有效地指导学生解数学题． 用好这些典型能引导学生再现知识点的形成和生长过程，重新梳理知识体系，进一步优化知识结构． 做题不在于多而在于有效．

■高三复习中的教学反思和建议

（1）认真研究课标和考试说明，领会考试精神

课标对本学科的地位作用做了纲领性的规定和要求，而考试说明更是具体地指出在数学教学中应该达到的基本要求和层次． 例如，近年的高考中没有在出现复杂的数列通项求解问题，试题比较常规． 课标对数列的教学要求为：理解数列的概念和几种简单的表示方法，理解数列是一类特殊的函数；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，能在具体情节中发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应问题，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系． 在2010年的高考中海南卷第17题（Ⅱ）考查点是：数列是一类特殊的函数，利用一元二次函数的思想获解，此类问题在高考试卷中俯首皆是．

（2）重视教材的基础作用和示范作用，注重通性通法

教材是高考考试内容的具体化，教材是高考命题的基本依据，教材是中低档题的直接来源，教材是解题能力的基本生长点． 每年的考试结束后，认真研究试题都能得到一个共同的信息：试卷立足于教材而出，但不拘泥于教材，25%左右的题目源于教材． 2011年陕西高考数学理科17题解析几何第一问“求轨迹方程”来源于选修2-1第三章圆锥曲线与方程阅读材料2中 “圆与椭圆”，第二问求弦长与选修2-1习题3-4A组第7题相同；第18题叙述并证明余弦定理为必修五第二章解三角形第1节内容；第20题概率题的背景与选修2-3复习题二第2题一致等．

（3）重视数学知识间的内在联系，渗透数学思想方法

教材作为构建知识体系的一个蓝本，勾勒出了应有的知识体系结构和知识间的关系． 细致分析高考试卷中的难题，容易发现试题涉及的知识点紧密联系，相互交汇，解答方法具有一定的深度和广度． 2011年全国课标卷中理科21题考查导数的应用，第一问切入点低，解法常规，学生只要掌握基本的处理方法即可得分；在第二问的解答中就要用到五大数学思想方法，逐步深入考查，凸显能力立意的考试目的． 教师在复习中可以引导学生用图表的方法列出知识清单，比较发现知识间的关联所在，构建知识网，这样有助于学生更好地形成知识网络结构，理解数学知识间的内在联系从而提升分析、解决问题的能力．

总之，高三的教学复习中，教师要用好教材和构建好知识体系，依据课标要求和考试说明而进行． 不能只是简单复习知识点，要深入研究，分析知识间的内在关系，对一些蕴涵重要数学方法和思想的知识点，做好二次讲解和阐述，构建好知识网络结构． 站得高才能看得远，抓住了知识的核心，以不变应万变才能在高三复习中出彩！