归纳、猜想与数学归纳法的证明

摘 要：归纳、猜想与证明这类题目对培养学生的创造性思维，具有很好的训练作用。这类题型是：第一步给出命题（与自然数有关）的结构；第二步要求学生计算出最初的三个至四个初始值；第三步要求学生通过已计算出的初始值，应用不完全归纳法，发现其命题的一般性规律，作出科学的猜想和判断―― 敢于猜想，善于猜想，最后用数学归纳法对所作的猜想―― 般性结论，作出完整科学的证明。

关键词：归纳 猜想 数学归纳法的证明

中图分类号：G632.4 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）01（a）-0162-02

数学归纳法是论证与自然数n有关的一类数学命题的重要方法，通过“有限”手段来证明“无限”的命题，它主要用于证明与自然数n有关的恒等式、不等式、整除问题、几何问题、数列的通项及求和公式等。

下面将通过具体实例进行阐述：

例1：数列满足试用表示

解：由知，， 猜想（n≥2）下面用数学归纳法证明。

证明：（i）当n=2时，公式成立。

（ii）假设n=k时，公式成立。

即

当n=k+1时，

==

n=k+1时，公式成立。

由（i）（ii）两步得成立。

评注：利用数学归纳法证明通项公式关键是利用递推关系（和之间的关系）。

例2：设正整数列的前n项和为，并且对于所有的自然数n，与2的等差中项等于与2的等比中项。

（1）写出数列的前3项。

（2）求数列的通项公式。

（3）令（）求极限。

解：1）由题意可知：

当n=1时有。

当n=2时有。

当n=3时有

于是由可猜想的通项公式为。

下面用数学归纳法证明数列的通项公式是（n）

①当n=1时，因为，又在（1）中已求出所以上述结论成立。

②假设n=k结论成立.即有。

由题意，有，将代入上式，得 。由题意，有，，将代入，得整理得由解得。

所以这就是说，当n=k+1时上述结论成立。

根据①②上述结论对所有的自然数n均成立。

2）解：令：

则

==

而

=

=1-

==1

例3：设是否存在n的整式g（n），使得等式对大于1的自然数n都成立？证明你的结论。

解：假设g（n）存在：

当n=2时，由即1=解得g（2）=2。

当n=3时，由即解得g（3）=3。

当n=4时，由即 。

解得g（4）=4 由此猜想g（n）=n（n≥2）。

下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式 成立。

（i）当n=2时，结论成立。

（ii）假设当n=k（k≥2）时，结论成立，则：

=（k+1）（）=（k+1）（），

说明当n=k+1时，结论成立。

由（i）（ii）可知，对一切大于1的自然数n，存在g（n）=n使等式恒成立。

数学归纳法是数学中的一种重要方法，在初等数学与高等数学中都有着广泛的应用。与自然数有关的不等式，通常考虑用数学归纳法来证明，用数学归纳法证明时的两个步骤缺一不可。

例1：设，且n>1求证：

分析：观察特征性与n有关，可采用数学归纳法。

证明：（1）当n=2时，左=，右=，因为>，所以不等式成立。

（2）假设n=k（）时不等式成立，即

那么当n=k+1时，

①

要证①式左边大于，只要证 ②

由于②

③

因为③成立，故②成立，这就是说，当n=k+1时原不等式成立。

由（1）和（2），对一切n≥2（）原不等式成立。

评注：在由n=k时的结论过度到n=k+1时的结论时，要证目标

较为困难，把问题转化为证明②式，再转化为证③式，使问题获得解决，这种等价转化的思想十分重要。

例2：已知，且n>1求证：

证明：（1）当n=2时，

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有

则当n=k+1时，

=（）+（）

>（）==

由（1）（2）知，对任何n且n>1时，不等式成立。

评注：为了利用n=k时的假设条件，这里采用了加项减项的策略，以便正确过渡到n=k+1这一步。

例3：记，

求证：

分析：这是一个证明不等式的问题，由于和自然数n有关，所以在证明时自然数想到应用数学归纳法加以证明。

证明：（1）当n=2时，

当n=2时命题成立。

（2）假设n=k时命题成立，即成立

则当n=k+1时，

>1+

>==1+

当n=k+1时，命题也成立。

由（1）（2）知，对任何n且n≥2时，不等式成立。

评注：本题在应用数学归纳法证明不等式时，易错处在证明当成立时放缩的程度不恰当，从而整理不出要证明的结论，在证明这一题时应特别注意归纳假设的利用和放缩程度的恰当掌握等方面。

例4：设n时自然数，求证：2！・4！・6！…（2n）！≥

证明：（1）当n=1时，左边=2！=2，右边=2！=2原不等式成立。

（2）假设n=k时，不等式成立。

即：2！・4！・6！…（2k）！≥

那么当n=k+1时，2！・4！・6！…（2k）！（2k+2）！≥

而（2k+2）！=（2k+2）（2k+1）…（k+3）（k+2）！

因此有2！・4！・6！…（2k）！（2k+2）！≥

>！=！=

即不等式当n+k+1时，也成立。

由（1）（2）可知不等式对一切自然数都成立。

评注：在由时的结论推证时的结论时，利用了阶乘的有关知识在适当放缩，使问题得证。

例4：已知函数f（n）=（n为大于1的自然数）若a，b，且a，

试判断f（）与的大小并加以证明。

分析：由f（）=，=这是两个与n有关的函数值。要比较大小，用不完全归纳法猜想得到结果，再证明。

证明：f（）=且

当n=2时，=（）

当n=3时，

=

故n，n≥2，有

下面用数学归纳法证明。

（1）当n=2时，以证。

（2）假设n=k（≥）时：

则n=k+1时：

又（可用作比较，略）

。

综上由（1）（2），对一切n，n≥2结论成立。

评注：这一例题是数学归纳法证明探索性问题，此类问题常用的方法是用不完全归纳法猜想出结论，再用数学归纳法证明。

参考文献

[1] 张爱芹.数学[M].人民卫生出版社，2007.

[2] 张选群.医用高等数学[M].人民卫生出版社，2010，6.